Considere uma molécula de gás oxigênio \left(\mathrm{O}_{2}\right) e avalie as afirmações abaixo.
I. A molécula é diatômica.
II. A molécula apresenta 2 graus de liberdade de rotação.
III. Para a molécula Cp < Cv.
IV. A razão Cp / Cv é 5/7.
V. A molécula não apresenta graus de liberdade de rotação.
Podemos dizer que:
◯ Apenas a afirmação III é falsa
◯ Apenas a afirmação I é verdadeira.
◯ Apenas as afirmações I e V são verdadeiras.
◯ Apenas as afirmações I e ll são verdadeiras.
◯ Todas as afirmações são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado apresenta cinco afirmações sobre uma molécula de oxigênio \left(\mathrm{O}_{2}\right) e pede que escolhamos qual alternativa entre as listadas é correta. As afirmações são:
I. A molécula é diatômica.
II. A molécula apresenta 2 graus de liberdade de rotação.
III. Para a molécula C_p<C_v.
IV. A razão C_p/C_v é 5/7.
V. A molécula não apresenta graus de liberdade de rotação.
Devemos identificar, com justificativa, quais dessas afirmações são verdadeiras e quais são falsas, e então escolher a alternativa correta.

Passo 2

Verificando a afirmação I: “A molécula é diatômica.”
Definição simples: uma molécula é dita diatômica quando é formada por exatamente duas átomos ligados entre si. O oxigênio molecular comum é formado por duas átomos de oxigênio ligados: \mathrm{O}_{2}. Portanto a afirmação I é verdadeira.

Passo 3

Graus de liberdade de rotação — análise das afirmações II e V.
Regra geral para um sistema de N átomos no espaço tridimensional: o número total de graus de liberdade é 3N. Desses, sempre existem 3 graus de liberdade de translação (movimentação do centro de massa). Os graus de liberdade de rotação dependem da geometria:
  • para moléculas não lineares: 3 graus de liberdade de rotação;
  • para moléculas lineares: 2 graus de liberdade de rotação (porque girar em torno do eixo que liga os dois átomos não altera a configuração).
    Uma molécula diatômica é linear, logo tem exatamente 2 graus de liberdade de rotação. Assim:
  • A afirmação II (“apresenta 2 graus de liberdade de rotação”) é verdadeira.
  • A afirmação V (“não apresenta graus de liberdade de rotação”) é falsa.

Passo 4

Energia interna, C_v e C_p — fundamentos e cálculo para uma molécula diatômica (modelo clássico com rotações ativadas e vibração não excitada).
Equipartição da energia (versão clássica simplificada): cada grau de liberdade quadrático contribui com \tfrac{1}{2}k_B T por partícula ou \tfrac{1}{2}R T por mol à energia interna (onde R é a constante dos gases). Para uma molécula diatômica que podemos tratar como ideal e clássica (sem excitação vibracional significativa), as contribuições por mol são:
  • translação: 3 graus \Rightarrow energia = \tfrac{3}{2}R T;
  • rotação (linear): 2 graus \Rightarrow energia = \tfrac{2}{2}R T = R T.
    Total da energia interna por mol:
U = \left(\tfrac{3}{2} + 1\right) R T = \tfrac{5}{2} R T.
Pelo princípio, a capacidade calorífica molar a volume constante é
C_v = \left(\frac{dU}{dT}\right)_V = \tfrac{5}{2} R.
Para um gás ideal vale a relação
C_p = C_v + R = \tfrac{5}{2}R + R = \tfrac{7}{2}R.
Portanto
\frac{C_p}{C_v}=\frac{\tfrac{7}{2}R}{\tfrac{5}{2}R}=\frac{7}{5}=1{,}4.
Observações importantes (didáticas): a vibração de uma diatômica corresponderia a mais 2 graus de liberdade (energia potencial e cinética da vibração), aumentando C_v, mas essa contribuição só aparece se os modos vibracionais forem termicamente excitados (normalmente exigem temperaturas altas). No tratamento usual de termodinâmica básica à temperatura ambiente, toma-se C_v=\tfrac{5}{2}R e C_p=\tfrac{7}{2}R.

Passo 5

Julgar as afirmações III e IV com base no resultado anterior.
  • Afirmação III: "Para a molécula C_p<C_v". Pela relação C_p=C_v+R e R>0, temos sempre C_p>C_v para um gás ideal. Assim a afirmação III é falsa.
  • Afirmação IV: "A razão C_p/C_v é 5/7". Calculamos \dfrac{C_p}{C_v}=\dfrac{7}{5}. A afirmação diz 5/7, que é o inverso; portanto a afirmação IV é falsa.

Passo 6

Resumo das verdades/falsidades:
  • I: verdadeira.
  • II: verdadeira.
  • III: falsa.
  • IV: falsa.
  • V: falsa.
    Portanto, apenas as afirmações I e II são verdadeiras.

Resposta

Apenas as afirmações I e ll são verdadeiras.

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