No interior de um corpo esférico sólido de densidade uniforme, a aceleração da gravidade é constante.
Escolha uma opção:
◯ Verdadeiro
◯ Falso

Passo 1

O enunciado afirma: “No interior de um corpo esférico sólido de densidade uniforme, a aceleração da gravidade é constante.”
Pergunta a responder: isso é verdadeiro ou falso?
Informações dadas (explicitadas): temos uma esfera sólida de raio \,R\,, massa total \,M\, e densidade uniforme (ou seja, densidade igual em todo ponto). Queremos saber como varia a aceleração da gravidade g quando estamos no interior da esfera, a uma distância \,r\, do centro, com 0\le r\le R.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicado didaticamente). Quando se calcula a gravidade gerada por uma distribuição esférica simétrica, há duas ideias-chave que ajudam muito:
  1. Apenas a massa contida dentro da esfera de raio \,r\, (a massa “interna”) contribui para a força gravitacional no ponto a distância \,r\, do centro; a massa em cascas esféricas externas não contribui (essa é a conclusão do chamado teorema da casca esférica de Newton). Intuitivamente: as atrações das partes externas se cancelam entre si.
  2. A força gravitacional de uma massa concentrada no centro segue a lei de Newton: a intensidade do campo gravitacional produzido por uma massa M_{\text{efetiva}} localizada no centro é \,g = \dfrac{G\,M_{\text{efetiva}}}{r^2}\,, onde G é a constante gravitacional e \,r\, é a distância ao centro. Aqui usaremos essas duas ideias juntas.

Passo 3

Definir densidade e massa interna. Como a densidade é uniforme, podemos definir a densidade volumétrica \rho como massa sobre volume:
\rho = \dfrac{M}{\tfrac{4}{3}\pi R^3} = \dfrac{3M}{4\pi R^3}.
Isso significa que qualquer sub-esfera de raio \,r\, contém massa proporcional ao seu volume.

Passo 4

Calcular a massa contida dentro do raio \,r (massa efetiva que gera o campo em distância \,r). O volume da sub-esfera de raio \,r é \tfrac{4}{3}\pi r^3. Multiplicando pela densidade:
M(r) = \rho \cdot \tfrac{4}{3}\pi r^3.
Substituindo \rho da etapa anterior obtemos uma expressão simples:
M(r) = \left(\dfrac{3M}{4\pi R^3}\right)\cdot \tfrac{4}{3}\pi r^3 = M\cdot \dfrac{r^3}{R^3}.
Ou seja, a massa interna cresce como r^3.

Passo 5

Aplicar a lei de Newton para o campo gravitacional usando apenas a massa interna. Pelo item 2 do Passo 2, o módulo do campo gravitacional a uma distância \,r\, (devido à massa interna) é
g(r) = \dfrac{G\,M(r)}{r^2}.
Substituindo M(r) do Passo 4:
g(r) = \dfrac{G\;M\;\dfrac{r^3}{R^3}}{r^2} = \dfrac{G\,M}{R^3}\;r.

Passo 6

Interpretação da fórmula encontrada e consequências. A expressão
g(r)=\dfrac{G\,M}{R^3}\;r
mostra que o campo gravitacional no interior varia linearmente com \,r\,. Em particular:
  • no centro ( r=0) temos g(0)=0;
  • na superfície ( r=R) recuperamos g(R)=\dfrac{G\,M}{R^2}, que é o valor esperado na superfície.
    Portanto g(r) não é constante dentro da esfera: varia de zero no centro até o valor de superfície, crescendo proporcionalmente a r.

Passo 7

Resumo intuitivo (para fixar): dentro de uma esfera homogênea, as cascas externas “não empurram” o campo no ponto interior (cancelamento), então só importa a massa interna; como essa massa interna cresce como o volume \propto r^3, e pela lei g\propto M_{\text{interna}}/r^2, sobra um comportamento g\propto r. Pense nisso como uma mola: quanto mais longe do centro (aumentando r), maior a massa “ativa” e maior a atração — até a superfície.

Passo 8

Resposta à afirmação do enunciado com base na dedução: a aceleração da gravidade dentro de um corpo esférico sólido de densidade uniforme não é constante; ela varia linearmente com a distância ao centro e é zero no centro.

Resposta

Falso

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