No interior de um corpo esférico sólido de densidade uniforme, a aceleração da gravidade é constante.
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◯ Verdadeiro
◯ Falso
◯ Verdadeiro
◯ Falso
Passo 1
O enunciado afirma: “No interior de um corpo esférico sólido de densidade uniforme, a aceleração da gravidade é constante.”
Pergunta a responder: isso é verdadeiro ou falso?
Informações dadas (explicitadas): temos uma esfera sólida de raio , massa total
e densidade uniforme (ou seja, densidade igual em todo ponto). Queremos saber como varia a aceleração da gravidade
quando estamos no interior da esfera, a uma distância
do centro, com
.
Pergunta a responder: isso é verdadeiro ou falso?
Informações dadas (explicitadas): temos uma esfera sólida de raio
Passo 2
Princípio físico que vamos usar (explicado didaticamente). Quando se calcula a gravidade gerada por uma distribuição esférica simétrica, há duas ideias-chave que ajudam muito:
- Apenas a massa contida dentro da esfera de raio
(a massa “interna”) contribui para a força gravitacional no ponto a distância do centro; a massa em cascas esféricas externas não contribui (essa é a conclusão do chamado teorema da casca esférica de Newton). Intuitivamente: as atrações das partes externas se cancelam entre si. - A força gravitacional de uma massa concentrada no centro segue a lei de Newton: a intensidade do campo gravitacional produzido por uma massa
localizada no centro é , onde é a constante gravitacional e é a distância ao centro. Aqui usaremos essas duas ideias juntas.
Passo 3
Definir densidade e massa interna. Como a densidade é uniforme, podemos definir a densidade volumétrica
como massa sobre volume:
Isso significa que qualquer sub-esfera de raio
contém massa proporcional ao seu volume.
Passo 4
Calcular a massa contida dentro do raio
(massa efetiva que gera o campo em distância
). O volume da sub-esfera de raio
é
. Multiplicando pela densidade:
Substituindo
da etapa anterior obtemos uma expressão simples:
Ou seja, a massa interna cresce como
.
Passo 5
Aplicar a lei de Newton para o campo gravitacional usando apenas a massa interna. Pelo item 2 do Passo 2, o módulo do campo gravitacional a uma distância
(devido à massa interna) é
Substituindo
do Passo 4:
Passo 6
Interpretação da fórmula encontrada e consequências. A expressão
mostra que o campo gravitacional no interior varia linearmente com
. Em particular:
- no centro (
) temos ; - na superfície (
) recuperamos , que é o valor esperado na superfície.
Portantonão é constante dentro da esfera: varia de zero no centro até o valor de superfície, crescendo proporcionalmente a .
Passo 7
Resumo intuitivo (para fixar): dentro de uma esfera homogênea, as cascas externas “não empurram” o campo no ponto interior (cancelamento), então só importa a massa interna; como essa massa interna cresce como o volume
, e pela lei
, sobra um comportamento
. Pense nisso como uma mola: quanto mais longe do centro (aumentando
), maior a massa “ativa” e maior a atração — até a superfície.
Passo 8
Resposta à afirmação do enunciado com base na dedução: a aceleração da gravidade dentro de um corpo esférico sólido de densidade uniforme não é constante; ela varia linearmente com a distância ao centro e é zero no centro.
Resposta
Falso