Entre duas notas musicais há um intervalo de um tom maior \left(\frac{9}{8}\right). Se a freqüência da nota mais grave é 256 Hz , qual a freqüência da nota mais aguda?

Resolução:

Sendo f_{1} a freqüência da nota mais grave e f_{2} a da nota mais aguda, o intervalo entre elas é definido por:
i=\frac{f_{2}}{f_{1}}
Como \mathrm{i}=\frac{9}{8} \quad e \quad \mathrm{f}_{1}=256, obtemos:
\frac{9}{8}=\frac{\mathrm{f}_{2}}{256} \quad \mathrm{f}_{2}=288 \mathrm{~Hz}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a frequência da nota mais aguda sabendo que:
  • o intervalo entre as duas notas é i=\dfrac{9}{8};
  • a frequência da nota mais grave é f_{1}=256\\ \text{Hz}.
    A pergunta explícita é: qual é a frequência f_{2} da nota mais aguda?

Passo 2

Entendendo a ideia que vamos usar (explicação didática e simples).
  • Frequência é o número de vibrações por segundo; a unidade é o hertz ( \text{Hz}), ou seja, 1\\ \text{Hz}=1 vibração por segundo.
  • Um intervalo musical entre duas notas é dado pela razão (ou quociente) entre suas frequências. Se a razão é i, isso significa que ao multiplicar a frequência da nota mais grave por i obtemos a frequência da nota mais aguda.
  • Portanto a relação matemática que descreve isso é
i=\frac{f_{2}}{f_{1}}.
Aqui:
  • i é o intervalo (um número sem unidade, neste caso \dfrac{9}{8});
  • f_{1} é a frequência da nota grave (em \text{Hz});
  • f_{2} é a frequência da nota aguda (em \text{Hz}), que queremos encontrar.

Passo 3

Isolando f_{2} na relação i=\dfrac{f_{2}}{f_{1}} obtemos a fórmula prática para cálculo:
f_{2}=i\cdot f_{1}.
Agora substituímos os valores dados:
f_{2}=\frac{9}{8}\cdot 256.

Passo 4

Fazer a conta passo a passo (sem calculadora, mostrando simplificação):
  • Primeiro divido 256 por 8:
\frac{256}{8}=32.
  • Depois multiplico por 9:
32\cdot 9 = 288.
Portanto
f_{2}=288\\ \text{Hz}.

Passo 5

Verificação rápida de plausibilidade (curtinha e motivadora): o resultado 288\\ \text{Hz} é maior que 256\\ \text{Hz}, como esperado para a nota mais aguda, e a multiplicação seguiu exatamente a razão \dfrac{9}{8}. Tudo consistente — bonito e rápido!

Resposta

288\\ \text{Hz}

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