Considere os sons de freqüência 65 Hz e 16640 Hz .
a) Qual o intervalo entre eles?
b) Qual o número de oitavas existentes nesse intervalo?
a) Qual o intervalo entre eles?
b) Qual o número de oitavas existentes nesse intervalo?
Passo 1
O enunciado fornece duas frequências sonoras:
Pede-se:
(a) qual o intervalo entre elas (ou seja, como comparar as duas frequências numericamente);
(b) quantas oitavas existem nesse intervalo.
(a) qual o intervalo entre elas (ou seja, como comparar as duas frequências numericamente);
(b) quantas oitavas existem nesse intervalo.
Passo 2
Conceito importante (explicação passo a passo):
- Em música/acústica, um “intervalo” entre duas notas é dado pela razão (ou razão de frequência) entre as frequências. Isso porque o que importa para a percepção de altura é o quão maior é uma frequência em relação à outra, não a diferença aritmética. Matemáticamente:
onde
é a frequência mais baixa e
a mais alta.
- Uma oitava corresponde exatamente a um fator
de frequência: se uma nota tem frequência , a nota uma oitava acima tem frequência . Portanto, se o fator entre duas frequências é , então existem oitavas entre elas. Logo:
Aqui
é o número de oitavas (pode ser não inteiro, mas no nosso caso veremos que é inteiro).
Passo 3
Calcular a razão entre as frequências (feito de forma que dê para fazer sem calculadora):
Observação prática: verificar se
cabe um número inteiro de vezes em
. Multiplicando:
Logo
Portanto o intervalo, como razão de frequências, é
(ou seja,
vezes).
Passo 4
Determinar o número de oitavas usando a relação
. Substituindo a razão encontrada:
Reconhecer potências de 2:
. Portanto
Explicação curta: isso significa que subindo
oitavas a partir de
obtém-se
.
Passo 5
Comentário extra (útil para prova): se for pedido em semitons, cada oitava tem
semitons, então o número de semitons seria
Mas como a pergunta (b) só pediu oitavas, a resposta direta é
.
Resposta
(a) A razão (intervalo) é
, isto é,
.
(b) Existem oitavas entre as duas frequências.
(b) Existem