Considere os sons de freqüência 65 Hz e 16640 Hz .
a) Qual o intervalo entre eles?
b) Qual o número de oitavas existentes nesse intervalo?

Passo 1

O enunciado fornece duas frequências sonoras:
  • f_1 = 65\\ \text{Hz}
  • f_2 = 16640\\ \text{Hz}
Pede-se:
(a) qual o intervalo entre elas (ou seja, como comparar as duas frequências numericamente);
(b) quantas oitavas existem nesse intervalo.

Passo 2

Conceito importante (explicação passo a passo):
  • Em música/acústica, um “intervalo” entre duas notas é dado pela razão (ou razão de frequência) entre as frequências. Isso porque o que importa para a percepção de altura é o quão maior é uma frequência em relação à outra, não a diferença aritmética. Matemáticamente:
\text{razão} = \frac{f_2}{f_1},ã
onde f_1 é a frequência mais baixa e f_2 a mais alta.
  • Uma oitava corresponde exatamente a um fator 2 de frequência: se uma nota tem frequência f, a nota uma oitava acima tem frequência 2f. Portanto, se o fator entre duas frequências é 2^n, então existem n oitavas entre elas. Logo:
2^n = \frac{f_2}{f_1}\quad\Rightarrow\quad n = \log_2\!\left(\frac{f_2}{f_1}\right).
Aqui n é o número de oitavas (pode ser não inteiro, mas no nosso caso veremos que é inteiro).

Passo 3

Calcular a razão entre as frequências (feito de forma que dê para fazer sem calculadora):
\frac{f_2}{f_1}=\frac{16640}{65}.
Observação prática: verificar se 65 cabe um número inteiro de vezes em 16640. Multiplicando:
65\times 256 = 65\times(250+6)=65\times250+65\times6=16250+390=16640.
Logo
\frac{16640}{65}=256.
Portanto o intervalo, como razão de frequências, é 256:1 (ou seja, 256 vezes).

Passo 4

Determinar o número de oitavas usando a relação 2^n = \dfrac{f_2}{f_1}. Substituindo a razão encontrada:
2^n = 256.
Reconhecer potências de 2: 256 = 2^8. Portanto
n = 8.
Explicação curta: isso significa que subindo 8 oitavas a partir de 65\\ \text{Hz} obtém-se 65\times 2^8 = 65\times 256 = 16640\\ \text{Hz}.

Passo 5

Comentário extra (útil para prova): se for pedido em semitons, cada oitava tem 12 semitons, então o número de semitons seria
12\cdot n = 12\cdot 8 = 96\\ \text{semitons}.
Mas como a pergunta (b) só pediu oitavas, a resposta direta é 8.

Resposta

(a) A razão (intervalo) é \dfrac{16640}{65}=256, isto é, 256:1.
(b) Existem 8 oitavas entre as duas frequências.

Exercícios relacionados