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Se a onda estacionária ẻ dada por
y^{\prime}(t)=(3 \mathrm{~mm}) \operatorname{sen}(5 x+\pi / 2) \cos (4 t),
existe um nó ou um antinó em x=0 ?

Passo 1

O enunciado dá a onda estacionária
y(x,t)=(3\\ \mathrm{mm})\sin(5x+\pi/2)\cos(4t),
e pergunta se em x=0 existe um nó ou um antínodo.
Informações relevantes: a função está escrita como produto de um fator espacial \sin(5x+\pi/2) e um fator temporal \cos(4t); a amplitude máxima multiplicativa é 3\\ \mathrm{mm}.

Passo 2

Vou lembrar o que significa nó e antínodo (explicando devagar, como se eu estivesse do seu lado):
  • Um nó é um ponto fixo da corda que não oscila, ou seja, um ponto onde o deslocamento é sempre zero para todo tempo t. Em termos da forma multiplicativa de uma onda estacionária, isso acontece quando o fator espacial é zero.
  • Um antínodo (também chamado de ventre) é um ponto onde a amplitude do movimento é máxima; ali a função temporal oscila entre os valores máximos \pm amplitude. Em termos da forma multiplicativa, o fator espacial tem valor de máxima magnitude (por exemplo \pm 1 quando a amplitude prefatorial é a amplitude máxima).

Passo 3

Identifico o fator espacial (a “envelope” de amplitude) da onda:
A(x)=(3\\ \mathrm{mm})\sin(5x+\pi/2).
Um nó em x ocorre se e só se \sin(5x+\pi/2)=0. Um antínodo ocorre quando |\sin(5x+\pi/2)|=1.

Passo 4

Avalio o fator espacial em x=0:
A(0)=(3\\ \mathrm{mm})\sin\!\bigl(5\cdot 0+\pi/2\bigr)=(3\\ \mathrm{mm})\sin\!\bigl(\pi/2\bigr).
Como \sin(\pi/2)=1, temos
A(0)=3\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Interpreto o resultado: em x=0 o deslocamento é
y(0,t)=(3\\ \mathrm{mm})\cos(4t),
que varia no tempo entre -3\\ \mathrm{mm} e +3\\ \mathrm{mm}. Como o deslocamento não é sempre zero (pelo contrário, atinge o máximo \pm 3\\ \mathrm{mm}), x=0 não é nó; é um ponto de máxima oscilação, ou seja, um antínodo (ventre).

Passo 6

Para completar, mostro as posições gerais de nós e antinódos (útil para a prova):
  • Nós: resolver \sin(5x+\pi/2)=0 leva a
5x+\frac{\pi}{2}=n\pi \quad\Rightarrow\quad x=\frac{n\pi-\pi/2}{5}=\frac{\pi(2n-1)}{10},\quad n\in\mathbb{Z}.
  • Antinódos: \sin(5x+\pi/2)=\pm1 leva a
5x+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}+n\pi \quad\Rightarrow\quad x=\frac{n\pi}{5},\quad n\in\mathbb{Z}.
Note que x=0 corresponde a n=0 na segunda fórmula, confirmando que é antínodo.

Resposta

Antínodo (ventre).

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