6- Duas ondas dadas por \mathrm{y}_{1}(\mathrm{x}, \mathrm{t})=\mathrm{A} \cos (\mathrm{kx}-\omega \mathrm{t}) e y_{2}(x, t)=A \cos (k x-\omega t+\varphi) interferem. A amplitude da onda resultante é:
a) nula
b) A
c) 2 A
d) A \cos (\varphi)
e) 2 A \cos (\varphi / 2)

Passo 1

O enunciado dá duas ondas de mesma amplitude A, mesmo número de onda k e frequência angular \omega, mas defasadas de \varphi:
\;y_{1}(x,t)=A\cos(kx-\omega t) e
\;y_{2}(x,t)=A\cos(kx-\omega t+\varphi).
O conteúdo é interferência de ondas por superposição, e vamos usar a identidade trigonométrica
\cos u + \cos v = 2\cos\!\Bigl(\tfrac{u+v}{2}\Bigr)\cos\!\Bigl(\tfrac{u-v}{2}\Bigr).

Passo 2

Escrevemos a soma das ondas:
y = y_{1} + y_{2} = A\cos(kx-\omega t) + A\cos(kx-\omega t+\varphi).
Fatorando A e aplicando a identidade com
u = kx-\omega t, \quad v = kx-\omega t + \varphi,
temos
y = A\bigl[\cos u + \cos v\bigr] = 2A\cos\!\Bigl(\tfrac{u+v}{2}\Bigr)\cos\!\Bigl(\tfrac{u-v}{2}\Bigr).

Passo 3

Calculamos
\tfrac{u+v}{2} = kx - \omega t + \tfrac{\varphi}{2}, \quad \tfrac{u-v}{2} = -\tfrac{\varphi}{2},
e como \cos(-\varphi/2)=\cos(\varphi/2), resulta
y = 2A\cos\!\Bigl(\tfrac{\varphi}{2}\Bigr)\cos\!\Bigl(kx - \omega t + \tfrac{\varphi}{2}\Bigr).
Isso mostra que a amplitude da onda resultante é
2A\cos\!\Bigl(\tfrac{\varphi}{2}\Bigr).

Resposta

e) 2A\cos\!\bigl(\tfrac{\varphi}{2}\bigr)

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