5- No MHA subcrítico com coeficiente de amortecimento b, a energia total do sistema decai com o tempo como:
a) linearmente com o tempo
b) proporcional a 1 / \mathrm{t}
c) proporcional a e^{-b t / m}
d) proporcional a e^{-2 b t / m}
e) proporcional a t^{2} e^{-b t}

Passo 1

O enunciado trata de um movimento harmônico amortecido subcrítico, cuja equação de movimento é
m\,\ddot x + b\,\dot x + k\,x = 0,
com b^2<4mk. Pergunta-se como decai a energia total do sistema com o tempo. Vamos usar a forma da solução e a relação energia \propto amplitud e^{2}.

Passo 2

Para o caso subcrítico temos a solução geral
x(t)=A\,e^{-\frac{b}{2m}t}\cos\bigl(\omega_d t+\varphi\bigr),
onde
\omega_d=\sqrt{\frac{k}{m}-\Bigl(\frac{b}{2m}\Bigr)^2}
e A,\varphi são constantes determinadas pelas condições iniciais. Note que a amplitude decai como e^{-b t/(2m)}.

Passo 3

A energia total do oscilador é
E(t)=\frac12m\,\dot x^2(t)+\frac12k\,x^2(t).
Usando que \dot x e x oscilam mas têm envelope proporcional a A\,e^{-b t/(2m)}, segue que
E(t)\propto\bigl(A\,e^{-\frac{b}{2m}t}\bigr)^2 = A^2\,e^{-\frac{b}{m}t}.

Passo 4

Concluímos que a energia decai exponencialmente segundo
E(t)\sim e^{-\frac{b}{m}t}.

Resposta

c) proporcional a e^{-b t/m}

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