O espectro da radiação de fundo oriunda da explosão inicial (big-bang) é ajustado por uma distribuição espectral de corpo negro a
. Qual é o valor da freqüência para a qual a distribuição espectral apresenta o ponto de máximo ? Justifique detalhadamente as suas respostas.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma radiação de fundo, que surgiu do Big Bang, e essa radiação segue uma distribuição de corpo negro com temperatura de 2,7 K. A pergunta é: qual é a frequência na qual essa distribuição atinge o ponto de máximo?
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Deslocamento de Wien, que nos ajuda a encontrar a frequência (ou comprimento de onda) onde a emissão de um corpo negro é maior.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Deslocamento de Wien. Essa lei relaciona a temperatura de um corpo negro com o comprimento de onda (λ) em que a emissão é máxima. A fórmula é:
Onde:
- $ \lambda_{máx} $ é o comprimento de onda no ponto de máximo
- $ T $ é a temperatura em Kelvin
- $ b $ é a constante de deslocamento de Wien, aproximadamente $ 2,898 \times 10^{-3} , m \cdot K $
No entanto, a nossa questão pede a frequência máxima (ν
), não o comprimento de onda. Para isso, precisamos relacionar a frequência com o comprimento de onda.
Passo 3
Sabemos que a frequência (ν) e o comprimento de onda (λ) estão relacionados pela velocidade da luz ©:
Então, para encontrar a frequência máxima, podemos reescrever a Lei de Wien em termos de frequência. A forma ajustada para frequência é:
Onde:
- $ \alpha $ é uma constante que aproxima o ponto de máximo para a frequência (aproximadamente 2,821)
- $ k $ é a constante de Boltzmann (
) - $ h $ é a constante de Planck (
) - $ T $ é a temperatura em Kelvin
Passo 4
Vamos agora calcular a frequência máxima usando os valores dados e as constantes:
Primeiro, vamos multiplicar $ k $ e $ T $:
Agora, multiplicamos pelo $ \alpha $:
Finalmente, dividimos pelo $ h $:
Convertendo para gigahertz (GHz):
Resposta
A frequência na qual a distribuição espectral da radiação de fundo atinge o ponto de máximo é aproximadamente 160 GHz.