O espectro da radiação de fundo oriunda da explosão inicial (big-bang) é ajustado por uma distribuição espectral de corpo negro a 2,7 K. Qual é o valor da freqüência para a qual a distribuição espectral apresenta o ponto de máximo ? Justifique detalhadamente as suas respostas.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma radiação de fundo, que surgiu do Big Bang, e essa radiação segue uma distribuição de corpo negro com temperatura de 2,7 K. A pergunta é: qual é a frequência na qual essa distribuição atinge o ponto de máximo?
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Deslocamento de Wien, que nos ajuda a encontrar a frequência (ou comprimento de onda) onde a emissão de um corpo negro é maior.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Deslocamento de Wien. Essa lei relaciona a temperatura de um corpo negro com o comprimento de onda (λ) em que a emissão é máxima. A fórmula é:
lambdamáx cdot T = b á
Onde:
  • $ \lambda_{máx} $ é o comprimento de onda no ponto de máximo
  • $ T $ é a temperatura em Kelvin
  • $ b $ é a constante de deslocamento de Wien, aproximadamente $ 2,898 \times 10^{-3} , m \cdot K $
No entanto, a nossa questão pede a frequência máxima (ν lambdamáx á), não o comprimento de onda. Para isso, precisamos relacionar a frequência com o comprimento de onda.

Passo 3

Sabemos que a frequência (ν) e o comprimento de onda (λ) estão relacionados pela velocidade da luz ©:
c = lambda cdot nu
Então, para encontrar a frequência máxima, podemos reescrever a Lei de Wien em termos de frequência. A forma ajustada para frequência é:
numáx = alpha cdot k cdot Th á
Onde:
  • $ \alpha $ é uma constante que aproxima o ponto de máximo para a frequência (aproximadamente 2,821)
  • $ k $ é a constante de Boltzmann ( alpha )
  • $ h $ é a constante de Planck ( k )
  • $ T $ é a temperatura em Kelvin

Passo 4

Vamos agora calcular a frequência máxima usando os valores dados e as constantes:
numáx = 2,821 cdot 1,380649 times 10^-23 , J/K times 2,7 , K6,62607015 times 10^-34 , J cdot s á
Primeiro, vamos multiplicar $ k $ e $ T $:
k
Agora, multiplicamos pelo $ \alpha $:
T
Finalmente, dividimos pelo $ h $:
1,380649 times 10^-23 times 2,7 = 3,728 times 10^-23 , J
Convertendo para gigahertz (GHz):
alpha

Resposta

A frequência na qual a distribuição espectral da radiação de fundo atinge o ponto de máximo é aproximadamente 160 GHz.

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