Duas ondas estão se propagando na mesma corda, muito comprida. Um vibrador no extremo esquerdo da corda gera uma onda dada por
y=(6,0 cm) cos pi2[(2,0 m^-) x+(8,0 s^-1) t],
enquanto um outro no extremo direto da corda gera a onda
y=(6,0 cm) cos pi2[(2,0 m^-1) x-(8,0 s^-1) t]
(a) Calcule a frequiência, o comprimento de onds e a velocidade escalar de cada onda. (b) Determine os pontos onde não existe movimento (os nós). (e) Em quais pontos o movimento da corda é máximo?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta está pedindo. Temos duas ondas que estão se movendo na mesma corda. Cada onda é gerada por um vibrador em extremos opostos da corda. O exercício tem três partes:
a) Calcular a frequência, o comprimento de onda e a velocidade das ondas.
b) Encontrar os pontos na corda onde não há movimento, chamados de nós.
e) Determinar onde o movimento da corda é máximo.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de ondas, como a relação entre frequência, comprimento de onda e velocidade, além de entender como identificar nós e pontos de movimento máximo.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a). Primeiro, vamos identificar as informações dadas para cada onda.
A primeira onda é dada por:
y1 = (6,0 , cm) cos [ pi2 (2,0 , m^-1 x + 8,0 , s^-1 t) ]
A segunda onda é:
y2 = (6,0 , cm) cos [ pi2 (2,0 , m^-1 x - 8,0 , s^-1 t) ]
Aqui, podemos ver que ambas as ondas têm a mesma amplitude (6,0 cm) e o mesmo número de onda ( k = 2,0 , m^-1) e frequência angular ( omega = 8,0 , s^-1).

Passo 3

Agora, vamos lembrar das relações fundamentais das ondas:
  1. Frequência ( f) está relacionada com a frequência angular ( omega) pela fórmula:
omega = 2pi f
  1. Comprimento de onda ( lambda) está relacionado com o número de onda ( k) por:
k = 2pilambda
  1. A velocidade da onda ( v) pode ser encontrada multiplicando a frequência pelo comprimento de onda:
v = f lambda
Vamos usar essas fórmulas para encontrar os valores pedidos.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a frequência ( f):
Sabemos que omega = 8,0 , s^-1, então:
8,0 = 2pi f f = 8,02pi f approx 8,06,2832 f approx 1,273 , Hz

Passo 5

Agora, vamos encontrar o comprimento de onda ( lambda):
Sabemos que k = 2,0 , m^-1, então:
2,0 = 2pilambda lambda = 2pi2,0 lambda = pi , m lambda approx 3,1416 , m

Passo 6

Por fim, vamos calcular a velocidade da onda ( v):
Usando v = f lambda:
v = 1,273 , Hz times 3,1416 , m v approx 4,0 , m/s

Passo 7

Agora, para a parte (b), precisamos encontrar os pontos onde não há movimento na corda, ou seja, os nós. Nos nós, as duas ondas se anulam.
Quando somamos as duas ondas, a interferência resulta em:
y = y1 + y2 = 2 times 6,0 , cm times cos(kx) times cos(omega t)
Para que não haja movimento, a amplitude deve ser zero:
cos(kx) = 0
Isso acontece quando:
kx = (n + 12)pi onde n = 0,1,2,dots
Substituindo k = 2,0 , m^-1:
2,0 times x = (n + 12)pi x = (n + 12)pi2
Portanto, os nós estão localizados em:
x = (2n + 1)pi4 metros

Passo 8

Para a parte (e), queremos encontrar onde o movimento da corda é máximo. Isso acontece quando a amplitude resultante é máxima.
Voltando à expressão da soma das ondas:
y = 2 times 6,0 , cm times cos(kx) times cos(omega t)
O movimento máximo ocorre quando cos(kx) = pm 1, ou seja, quando:
kx = npi onde n = 0,1,2,dots
Substituindo k = 2,0 , m^-1:
2,0 times x = npi x = npi2
Portanto, os pontos de movimento máximo estão em:
x = npi2 metros

Resposta

a) Frequência: aproximadamente 1,273 , Hz, Comprimento de onda: pi , m (≈ 3,1416 , m), Velocidade da onda: 4,0 , m/s.
b) Os nós estão localizados em x = (2n + 1)pi4 , m, onde n é um número inteiro.
e) Os pontos onde o movimento da corda é máximo estão em x = npi2 , m, onde n é um número inteiro.

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