Duas ondas senoidais transversais se propagam em sentides opostos ao longode uma corda. Cada onda tem uma amplitude de 0,30 cm e um comprimento de onda de 6,0 cm. A velocidade escalar de uma onda transversal na corda é 1.5 m / s. Desenhe a forma da corda nos instantes t=0 (arbitrário), t=5.0 t=10 t=15 e t=20 ms,

Passo 1

Beleza, então o problema diz o seguinte: duas ondas transversais iguais (cada uma com amplitude A=0,30,cm e comprimento de onda lambda=6,0,cm) viajam em sentidos opostos ao longo de uma corda. A velocidade de cada onda é v=1,5,m/s. A pergunta é: “desenhe” (ou seja, descreva a forma) da corda nos instantes t=0, t=5,0,ms, t=10,ms, t=15,ms e t=20,ms.
Conteúdo envolvido: superposição de ondas e formação de onda estacionária. Vamos precisar das fórmulas de onda (número de onda k, frequência omega, equações para onda indo para a direita e para a esquerda, e depois somar para obter a forma resultante).

Passo 2

Escrevendo as duas ondas viajando em sentidos opostos:
y1(x,t)=A,sinl(kx-omega tr)
y2(x,t)=A,sinl(kx+omega tr)
onde
k=2pilambda, omega=2pi f, f=vlambda

Passo 3

Agora somamos y1+y2 para ver a forma da corda (superposição):
y(x,t)=y1+y2=Al[sin(kx-omega t)+sin(kx+omega t)r]
Usando a identidade sinalpha+sinbeta=2sinl(tfracalpha+beta2r)cosl(tfracalpha-beta2r), fica
y(x,t)=2A,sin(kx),cos(omega t)
Isso é uma onda estacionária: a parte sin(kx) fixa os nós e ventres no espaço, e cos(omega t) faz oscilar a amplitude no tempo.

Passo 4

Calcular valores numéricos para k, f, omega e o fator temporal em cada instante:
  1. lambda=6,0,cm =0,06,m ⇒ k=2pi0,06approx!104,72,rad/m.
  2. f=dfracvlambda=dfrac1,50,06=25,Hz ⇒ omega=2pi f=50pi,rad/s.
  3. A amplitude máxima da onda estacionária é 2A=2times0,30,cm =0,60,cm =0,006,m.
Nos instantes pedidos o fator cos(omega t) vale:
  • t=0,: cos(0)=1 ⇒ amplitude instantânea =0,006,m.
  • t=5,0,ms =0,005,s: omega t=50pitimes0,005=0,25pi, cos(0,25pi)=tfracraiz22approx0,707. ⇒ amp =0,006times0,707approx0,00424,m.
  • t=10,ms: omega t=0,5pi, cos(0,5pi)=0 ⇒ amp =0, (corda totalmente alinhada em zero).
  • t=15,ms: omega t=0,75pi, cos(0,75pi)=-tfracraiz22approx-0,707 ⇒ amp =-0,00424,m (mesma forma do t=5,ms, mas invertida).
  • t=20,ms: omega t=pi, cos(pi)=-1 ⇒ amp =-0,006,m (mesma forma do t=0, só invertida).

Passo 5

Agora, para desenhar a forma da corda, a gente fixa o instante e plota
y(x)=l[2A,cos(omega t)r]sin(kx)
Em cada gráfico (para x variando, digamos, de 0 a 6,cm) é uma senoide com aquele “pico” de amplitude instantânea calculada acima.
- Em t=0: senoide de amplitude +0,006,m.
- Em t=5,ms: senoide “esticada” só 70% dessa altura ( +0,00424,m).
- Em t=10,ms: linha reta em zero.
- Em t=15,ms: senoide igual à de 5 ms mas invertida ( -0,00424,m).
- Em t=20,ms: senoide igual à de t=0 porém invertida ( -0,006,m).

Resposta

As formas da corda são ondas estacionárias dadas por
y(x,t)=2Asin!l(kxr)cos!l(omega tr)
com 2A=0,006,m, k=104,72,rad/m e omega=50pi,rad/s. Nos instantes pedidos a amplitude instantânea vale:
- t=0,: +0,006,m,
- t=5,ms: +0,00424,m,
- t=10,ms: 0,,
- t=15,ms: -0,00424,m,
- t=20,ms: -0,006,m.
Cada gráfico é uma senoide y(x)=l[essa amplituder]sin(104,72,x),, com nós em x=0,,3,cm e 6,cm.

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