Duas ondas são descritas por:
onde
e
estão em metros e
em segundos. Quando as duas ondas são combinadas é produzida uma onda progressiva. Determine:
o comprimento de onda da onda resultante?
o comprimento de onda da onda resultante?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá duas ondas que se combinam para formar uma onda progressiva. Nosso objetivo é descobrir qual é o comprimento de onda da onda resultante. Para isso, vamos usar conceitos de superposição de ondas e relações fundamentais entre frequência, velocidade e comprimento de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as características das duas ondas dadas:
Aqui,
e
são as funções que descrevem as ondas,
é a posição em metros, e
é o tempo em segundos.
Passo 3
Vamos quebrar as equações das ondas para identificar a amplitude, o número de onda (
) e a frequência angular (
) de cada uma:
Para
:
- Amplitude (
): 0,4 m - Número de onda (
): rad/m - Frequência angular (
): 50 rad/s
Para
:
- Amplitude (
): 0,4 m - Número de onda (
): rad/m - Frequência angular (
): 50 rad/s - Diferença de fase (
): rad
Passo 4
Como as duas ondas têm a mesma amplitude, número de onda e frequência angular, mas diferem na fase, podemos usar a fórmula da superposição de ondas com diferença de fase:
Onde:
-
é a amplitude de cada onda (0,4 m) -
é a diferença de fase ( rad)
Passo 5
Vamos calcular o fator de coseno:
E o termo da seno fica:
Passo 6
Agora, substituímos esses valores na fórmula da onda resultante:
Simplificando:
Passo 7
Observamos que a forma da onda resultante é:
Comparando com a fórmula padrão, percebemos que o número de onda
e a frequência angular
permanecem os mesmos.
Passo 8
Para encontrar o comprimento de onda (
), usamos a relação entre o número de onda (
) e o comprimento de onda:
Rearranjando para encontrar
:
Passo 9
Sabemos que
rad/m (da equação original). Então:
Resposta
O comprimento de onda da onda resultante é 1 metro.