Duas ondas são descritas por:
c y1(x, t)=0,4 sen[2 pi x-50 t] y2(x, t)=0,4 sen[2 pi x-50 t+pi / 2]
onde y1, y2 e x estão em metros e t em segundos. Quando as duas ondas são combinadas é produzida uma onda progressiva. Determine:
o comprimento de onda da onda resultante?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá duas ondas que se combinam para formar uma onda progressiva. Nosso objetivo é descobrir qual é o comprimento de onda da onda resultante. Para isso, vamos usar conceitos de superposição de ondas e relações fundamentais entre frequência, velocidade e comprimento de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as características das duas ondas dadas:
y1(x, t) = 0,4 sin(2pi x - 50 t) y2(x, t) = 0,4 sin(2pi x - 50 t + pi2)
Aqui, e são as funções que descrevem as ondas, é a posição em metros, e é o tempo em segundos.

Passo 3

Vamos quebrar as equações das ondas para identificar a amplitude, o número de onda ( ) e a frequência angular ( ) de cada uma:
Para :
  • Amplitude ( ): 0,4 m
  • Número de onda ( ): rad/m
  • Frequência angular ( ): 50 rad/s
Para :
  • Amplitude ( ): 0,4 m
  • Número de onda ( ): rad/m
  • Frequência angular ( ): 50 rad/s
  • Diferença de fase ( ): rad

Passo 4

Como as duas ondas têm a mesma amplitude, número de onda e frequência angular, mas diferem na fase, podemos usar a fórmula da superposição de ondas com diferença de fase:
yresu
Onde:
  • é a amplitude de cada onda (0,4 m)
  • é a diferença de fase ( rad)

Passo 5

Vamos calcular o fator de coseno:
cos(De
E o termo da seno fica:
sin(2pi x - 50 t + pi4)

Passo 6

Agora, substituímos esses valores na fórmula da onda resultante:
yresu
Simplificando:
yresu

Passo 7

Observamos que a forma da onda resultante é:
y(x, t) = Amplitude times sin(kx - omega t + fase)
Comparando com a fórmula padrão, percebemos que o número de onda e a frequência angular permanecem os mesmos.

Passo 8

Para encontrar o comprimento de onda ( k = 2pilambda ), usamos a relação entre o número de onda ( lambda = 2pik ) e o comprimento de onda:
Rearranjando para encontrar :

Passo 9

Sabemos que lambda = 2pi2pi = 1 , metro rad/m (da equação original). Então:

Resposta

O comprimento de onda da onda resultante é 1 metro.

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