Duas ondas senoidais que se combinam em um meio são descritas pelas funções de onda
y_{1}(x, t)=A \operatorname{sen}(\pi(x+0,60 t)) \quad y_{2}(x, t)=A \operatorname{sen}(\pi(x-0,60 t))onde \mathrm{A}=3,0 \mathrm{~cm}, e x está em centímetros e t em segundos. Determine o deslocamento máximo do movimento em
(d) Encontre os três menores valores de x que correspondem aos antinodos.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado).
São dadas duas ondas:y_{1}(x,t)=A\,\operatorname{sen}\!\big(\pi(x+0,60\,t)\big), \qquad y_{2}(x,t)=A\,\operatorname{sen}\!\big(\pi(x-0,60\,t)\big).
A amplitude é \,A=3,0\\ \text{cm}.
As variáveis: x está em centímetros e t em segundos.
O enunciado pede:
determinar o deslocamento máximo do movimento (amplitude máxima do sistema resultante);
(d) encontrar os três menores valores de x que correspondem aos antinodos (pontos de amplitude máxima espacial).
Passo 2
Primeiro vamos somar as duas ondas para ver a forma do movimento resultante (superposição). Usamos a identidade trigonométrica
Explicando: a combinação dá uma onda estacionária (standing wave) com um fator que depende só de x e outro que depende só de t.
Passo 3
Interpretação física e identificação da amplitude espacial:
A forma \,y(x,t)=2A\,\operatorname{sen}(\pi x)\cos(0,60\pi t)\, é típica de uma onda estacionária.
Para cada posição x a amplitude oscilatória no tempo é\mathcal{A}(x)=2A\big|\operatorname{sen}(\pi x)\big|.Aqui \mathcal{A}(x) é o valor máximo de |y| em função de x (ou seja, o envelope espacial).
Definições:
Nodo: ponto onde a amplitude espacial é zero, \mathcal{A}(x)=0.
Antinodo: ponto onde a amplitude espacial é máxima (máximo possível = 2A), ou seja |\operatorname{sen}(\pi x)|=1.
Passo 4
Calcular o deslocamento máximo do movimento (amplitude máxima global).
Pelo item anterior, a amplitude máxima que a onda estacionária pode atingir é\mathcal{A}_{\max}=2A.
Isto significa que, nos antinodos, o deslocamento máximo oscilatório vale 6,0\\ \text{cm}.
Passo 5
Determinar as posições dos antinodos (valores de x tal que |\operatorname{sen}(\pi x)|=1).
Resolver \operatorname{sen}(\pi x)=\pm 1.
As soluções gerais são\pi x = \frac{\pi}{2}+n\pi \quad\Rightarrow\quad x=\frac{1}{2}+n,onde n é um inteiro (positivo, negativo ou zero). Isso vem de observar que \operatorname{sen}\theta=\pm1 quando \theta=\tfrac{\pi}{2}+k\pi.
Agora escolhemos os três menores valores de x para antinodos. Assumindo o domínio físico usual x\ge 0 (posição medida a partir de x=0), tomamos n=0,1,2:x_{1}=\tfrac{1}{2}=0,5\\ \text{cm},\qquad x_{2}=\tfrac{3}{2}=1,5\\ \text{cm},\qquad x_{3}=\tfrac{5}{2}=2,5\\ \text{cm}.
Observação: se fossem permitidos x<0, haveria antinodos em x=-0,5\\ \text{cm},-1,5\\ \text{cm}, etc.; aqui escolhemos os três menores não-negativos.