Duas ondas senoidais que se combinam em um meio são descritas pelas funções de onda
y_{1}(x, t)=A \operatorname{sen}(\pi(x+0,60 t)) \quad y_{2}(x, t)=A \operatorname{sen}(\pi(x-0,60 t))onde \mathrm{A}=3,0 \mathrm{~cm}, e x está em centímetros e t em segundos. Determine o deslocamento máximo do movimento em
(d) Encontre os três menores valores de x que correspondem aos antinodos.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado).
  • São dadas duas ondas: y_{1}(x,t)=A\,\operatorname{sen}\!\big(\pi(x+0,60\,t)\big), \qquad y_{2}(x,t)=A\,\operatorname{sen}\!\big(\pi(x-0,60\,t)\big).
  • A amplitude é \,A=3,0\\ \text{cm}.
  • As variáveis: x está em centímetros e t em segundos.
  • O enunciado pede:
    • determinar o deslocamento máximo do movimento (amplitude máxima do sistema resultante);
    • (d) encontrar os três menores valores de x que correspondem aos antinodos (pontos de amplitude máxima espacial).

Passo 2

Primeiro vamos somar as duas ondas para ver a forma do movimento resultante (superposição). Usamos a identidade trigonométrica
\operatorname{sen}\alpha+\operatorname{sen}\beta = 2\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\!\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right).
Aqui \alpha=\pi(x+0,60\,t) e \beta=\pi(x-0,60\,t). Aplicando a identidade:
y(x,t)=y_{1}+y_{2}=A\big[\operatorname{sen}\alpha+\operatorname{sen}\beta\big] =2A\,\operatorname{sen}\!\big(\pi x\big)\,\cos\!\big(0,60\pi t\big).
Explicando: a combinação dá uma onda estacionária (standing wave) com um fator que depende só de x e outro que depende só de t.

Passo 3

Interpretação física e identificação da amplitude espacial:
  • A forma \,y(x,t)=2A\,\operatorname{sen}(\pi x)\cos(0,60\pi t)\, é típica de uma onda estacionária.
  • Para cada posição x a amplitude oscilatória no tempo é \mathcal{A}(x)=2A\big|\operatorname{sen}(\pi x)\big|.Aqui \mathcal{A}(x) é o valor máximo de |y| em função de x (ou seja, o envelope espacial).
  • Definições:
    • Nodo: ponto onde a amplitude espacial é zero, \mathcal{A}(x)=0.
    • Antinodo: ponto onde a amplitude espacial é máxima (máximo possível = 2A), ou seja |\operatorname{sen}(\pi x)|=1.

Passo 4

Calcular o deslocamento máximo do movimento (amplitude máxima global).
  • Pelo item anterior, a amplitude máxima que a onda estacionária pode atingir é \mathcal{A}_{\max}=2A.
  • Substituindo A=3,0\\ \text{cm}: \mathcal{A}_{\max}=2\cdot 3,0\\ \text{cm}=6,0\\ \text{cm}.
Isto significa que, nos antinodos, o deslocamento máximo oscilatório vale 6,0\\ \text{cm}.

Passo 5

Determinar as posições dos antinodos (valores de x tal que |\operatorname{sen}(\pi x)|=1).
  • Resolver \operatorname{sen}(\pi x)=\pm 1.
  • As soluções gerais são \pi x = \frac{\pi}{2}+n\pi \quad\Rightarrow\quad x=\frac{1}{2}+n,onde n é um inteiro (positivo, negativo ou zero). Isso vem de observar que \operatorname{sen}\theta=\pm1 quando \theta=\tfrac{\pi}{2}+k\pi.
  • Agora escolhemos os três menores valores de x para antinodos. Assumindo o domínio físico usual x\ge 0 (posição medida a partir de x=0), tomamos n=0,1,2: x_{1}=\tfrac{1}{2}=0,5\\ \text{cm},\qquad x_{2}=\tfrac{3}{2}=1,5\\ \text{cm},\qquad x_{3}=\tfrac{5}{2}=2,5\\ \text{cm}.
  • Observação: se fossem permitidos x<0, haveria antinodos em x=-0,5\\ \text{cm},-1,5\\ \text{cm}, etc.; aqui escolhemos os três menores não-negativos.

Resposta

\mathcal{A}_{\max}=6,0\\ \text{cm}\n
x=0,5\\ \text{cm},\;1,5\\ \text{cm},\;2,5\\ \text{cm}

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