Basicamente, os terremotos são ondas sonoras que se propagam através da Terra. Elas são chamadas de ondas sísmicas longitudinais e transversais. Essas ondas se propagam com velocidades diferentes. A velocidade das ondas longitudinais, chamadas de ondas P, é 8000 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. As ondas transversais, chamadas ondas S, se propagam com uma velocidade menor: 4500 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Um sismógrafo registra as duas ondas provenientes de um terremoto distante. Se a onda S chega 2,0 \mathrm{~min} após a onda P , a que distância do aparelho ocorreu o terremoto? Pode-se considerar que as ondas se propaguem em linhas retas, embora as ondas sísmicas reais sigam rotas mais complexas.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:\n
  • Velocidade da onda P: v_P = 8000\\ \mathrm{m/s}.\n
  • Velocidade da onda S: v_S = 4500\\ \mathrm{m/s}.\n
  • A onda S chega 2{,}0\\ \mathrm{min} após a onda P. Vou converter isso para segundos: \Delta t = 2{,}0\\ \mathrm{min} = 120\\ \mathrm{s}.\n
    O que pede: a distância d entre o terremoto (fonte das ondas) e o sismógrafo.

Passo 2

Modelo físico e variáveis (ideia):\n
  • As duas ondas percorrem a mesma distância d até o aparelho, mas com velocidades diferentes.\n
  • Tempo de viagem da onda P: t_P = \dfrac{d}{v_P}.\n
  • Tempo de viagem da onda S: t_S = \dfrac{d}{v_S}.\n
    Aqui usei a fórmula básica da cinemática para movimento uniforme (ou avanço de uma onda a velocidade constante): tempo = distância ÷ velocidade. As variáveis significam:\n
  • d: distância da fonte ao detector (o que queremos);\n
  • v_P, v_S: velocidades dadas;\n
  • t_P, t_S: tempos de chegada relativos.

Passo 3

Relacionando os tempos com o dado do enunciado:\n
O enunciado diz que a S chega \Delta t depois da P, ou seja
t_S - t_P = \Delta t.
Substituindo t_P e t_S pelas expressões em função de d:
\frac{d}{v_S} - \frac{d}{v_P} = \Delta t.

Passo 4

Isolando d (álgebra passo a passo):\n
Fatorando d do lado esquerdo:
d\left(\frac{1}{v_S} - \frac{1}{v_P}\right) = \Delta t.
Logo
d = \frac{\Delta t}{\dfrac{1}{v_S} - \dfrac{1}{v_P}}.
Isto é só reorganizar a equação para deixar d sozinho: divide-se ambos os lados pelo parêntese que multiplica d.

Passo 5

Substituir os valores e calcular cuidadosamente:\n
Primeiro calcular o denominador exatamente:
\frac{1}{v_S} - \frac{1}{v_P} = \frac{1}{4500} - \frac{1}{8000} = \frac{8000-4500}{4500\cdot8000} = \frac{3500}{36\,000\,000}.
Simplificando a fração:
\frac{3500}{36\,000\,000} = \frac{7}{72\,000}.
Portanto
d = \Delta t \cdot \frac{72\,000}{7}.
Substituindo \Delta t = 120\\ \mathrm{s}:
d = 120\cdot\frac{72\,000}{7} = \frac{8\,640\,000}{7}\\ \mathrm{m}.
Agora a divisão:
\frac{8\,640\,000}{7} \approx 1\,234\,285{,}714\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Interpretar e arredondar para apresentação prática:\n
Convertendo para quilômetros: 1\,234\,285{,}714\\ \mathrm{m} \approx 1\,234{,}29\\ \mathrm{km}.\n
Com os algarismos significativos razoáveis dados (tempo com duas casas significativas), uma apresentação comum é arredondar para três algarismos significativos:
d \approx 1{,}23\times10^{6}\\ \mathrm{m}\approx 1{,}23\times10^{3}\\ \mathrm{km}.

Resposta

d \approx 1{,}23\times10^{6}\\ \mathrm{m} \approx 1{,}23\times10^{3}\\ \mathrm{km}

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