Duas ondas senoidais de mesma frequência e comprimento de onda se propagam no mesmo sentido em uma corda esticada. Elas possuem amplitude 15 cm e 12 cm . Mostre que, no caso em que as amplitudes das ondas incidentes forem iguais, a amplitude da onda resultante pode ser calculada pela seguinte expressão: yR=2 ym cdot cos (De, Dica! Use a seguinte identidade trigonométrica cos x=cos ^2(x2)-sin ^2(x2). (1,5 ponto).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas ondas senoidais que têm a mesma frequência e comprimento de onda, e estão se movendo na mesma direção numa corda esticada. As amplitudes dessas ondas são 15 cm e 12 cm. Mas o exercício quer a gente mostrar que, quando as amplitudes das duas ondas são iguais, a amplitude da onda resultante pode ser calculada pela fórmula:
yR=2 ym cdot cos (De
Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria de superposição de ondas e uma identidade trigonométrica específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como somamos duas ondas senoidais. Se temos duas ondas com a mesma frequência e comprimento de onda, mas com amplitudes e fases diferentes, a onda resultante é a soma das duas ondas individuais.
Matematicamente, podemos representar as duas ondas assim:
y1 = ym1 cdot sin(omega t + varphi1)
y2 = ym2 cdot sin(omega t + varphi2)
Onde:
  • $ y_{m1} $ e $ y_{m2} $ são as amplitudes das ondas.
  • $ \omega $ é a frequência angular.
  • $ \varphi_1 $ e $ \varphi_2 $ são as fases iniciais das ondas.

Passo 3

Agora, queremos somar essas duas ondas para encontrar a onda resultante $ y_R $:
yR
yR = y1 + y2
Como o exercício pede para considerar o caso em que as amplitudes são iguais, ou seja, $ y_{m1} = y_{m2} = y_m $, podemos simplificar:
yR = ym1 cdot sin(omega t + varphi1) + ym2 cdot sin(omega t + varphi2)
ym1 = ym2 = ym

Passo 4

Para simplificar essa soma de senos, usamos a identidade trigonométrica que foi dada na dica:
cos x = cos^2(x2) - sin^2(x2)
Mas, na verdade, vamos utilizar a fórmula da soma de senos:
sin A + sin B = 2 sin(A + B2) cos(A - B2)
Aplicando isso ao nosso caso, onde $ A = \omega t + \varphi_1 $ e $ B = \omega t + \varphi_2 $:
A = omega t + varphi1
B = omega t + varphi2
Aqui, $ \Delta \varphi = \varphi_1 - \varphi_2 $, então:
yR = ym cdot 2 sin((omega t + varphi1) + (omega t + varphi2)2) cos((omega t + varphi1) - (omega t + varphi2)2)

Passo 5

Observando a expressão acima, vemos que a amplitude da onda resultante é multiplicada por $ 2 y_m \cos\left(\frac{\Delta \varphi}{2}\right) $. A parte que envolve o seno representa a oscilação temporal da onda resultante, mas a amplitude real é $ 2 y_m \cos\left(\frac{\Delta \varphi}{2}\right) $.

Resposta

A amplitude da onda resultante é dada por:
yR=2 ym cdot cos (De

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