Duas ondas senoidais de mesma frequência e comprimento de onda se propagam no mesmo sentido em uma corda esticada. Elas possuem amplitude 15 cm e 12 cm . Mostre que, no caso em que as amplitudes das ondas incidentes forem iguais, a amplitude da onda resultante pode ser calculada pela seguinte expressão:
, Dica! Use a seguinte identidade trigonométrica
. (1,5 ponto).
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas ondas senoidais que têm a mesma frequência e comprimento de onda, e estão se movendo na mesma direção numa corda esticada. As amplitudes dessas ondas são 15 cm e 12 cm. Mas o exercício quer a gente mostrar que, quando as amplitudes das duas ondas são iguais, a amplitude da onda resultante pode ser calculada pela fórmula:
Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria de superposição de ondas e uma identidade trigonométrica específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como somamos duas ondas senoidais. Se temos duas ondas com a mesma frequência e comprimento de onda, mas com amplitudes e fases diferentes, a onda resultante é a soma das duas ondas individuais.
Matematicamente, podemos representar as duas ondas assim:
Onde:
- $ y_{m1} $ e $ y_{m2} $ são as amplitudes das ondas.
- $ \omega $ é a frequência angular.
- $ \varphi_1 $ e $ \varphi_2 $ são as fases iniciais das ondas.
Passo 3
Agora, queremos somar essas duas ondas para encontrar a onda resultante $ y_R $:
Como o exercício pede para considerar o caso em que as amplitudes são iguais, ou seja, $ y_{m1} = y_{m2} = y_m $, podemos simplificar:
Passo 4
Para simplificar essa soma de senos, usamos a identidade trigonométrica que foi dada na dica:
Mas, na verdade, vamos utilizar a fórmula da soma de senos:
Aplicando isso ao nosso caso, onde $ A = \omega t + \varphi_1 $ e $ B = \omega t + \varphi_2 $:
Aqui, $ \Delta \varphi = \varphi_1 - \varphi_2 $, então:
Passo 5
Observando a expressão acima, vemos que a amplitude da onda resultante é multiplicada por $ 2 y_m \cos\left(\frac{\Delta \varphi}{2}\right) $. A parte que envolve o seno representa a oscilação temporal da onda resultante, mas a amplitude real é $ 2 y_m \cos\left(\frac{\Delta \varphi}{2}\right) $.
Resposta
A amplitude da onda resultante é dada por: