Um mergulhador está a 40 m abaixo da superfície livre de um lago, onde a temperatura é de 5^0 C. Ele libera uma bolha de ar que tem um volume de 15 cm^3. A bolha sobe à superfície, onde a temperatura é de 25^circ. Suponha que o ar na bolha esteja sempre em equilíbrio mecânico com a água ao seu redor, e que não haja troca de moléculas entre a bolha e a água. Qual é o volume da bolha imediatamente antes de romper na superfície?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um mergulhador que solta uma bolha de ar a 40 metros de profundidade num lago com temperatura de 5^circ C. Essa bolha tem um volume inicial de 15 cm^3 e sobe até a superfície, onde a temperatura é de 25^circ C. Queremos descobrir qual será o volume da bolha justo antes dela estourar na superfície. Para resolver isso, vamos usar a Lei dos Gases Ideais e entender como a pressão muda com a profundidade na água.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a pressão varia debaixo d’água. A pressão total na profundidade é a soma da pressão atmosférica na superfície mais a pressão exercida pela coluna de água acima do ponto considerado. A fórmula para isso é:
P = P0 + rho g h
Onde:
  • P é a pressão total na profundidade.
  • P0 é a pressão atmosférica na superfície (aproximadamente 101,325 Pa).
  • rho é a densidade da água ( 1000 kg/m^3).
  • g é a aceleração devido à gravidade ( 9,81 m/s^2).
  • h é a profundidade (40 m).

Passo 3

Vamos calcular a pressão a 40 metros de profundidade:
Pprofundidade = 101,325 Pa + 1000 kg/m^3 times 9,81 m/s^2 times 40 m
Calculando:
Pprofundidade = 101,325 Pa + 392,400 Pa = 493,725 Pa

Passo 4

Agora, vamos usar a Lei dos Gases Ideais para relacionar as condições iniciais e finais da bolha. A fórmula é:
P1 V1T1 = P2 V2T2
Onde:
  • P1 = 493,725 Pa (pressão a 40 m).
  • V1 = 15 cm^3 = 15 times 10^-6 m^3.
  • T1 = 5^circ C = 278 K.
  • P2 = 101,325 Pa (pressão na superfície).
  • T2 = 25^circ C = 298 K.
  • V2 é o volume que queremos encontrar.

Passo 5

Rearranjando a equação para encontrar V2:
V2 = V1 times P1P2 times T2T1
Substituindo os valores:
V2 = 15 times 10^-6 m^3 times 493,725 Pa101,325 Pa times 298 K278 K
Calculando passo a passo:
  1. 493,725101,325 approx 4,875
  2. 298278 approx 1,0726
  3. Multiplicando tudo:
V2 = 15 times 10^-6 times 4,875 times 1,0726 approx 15 times 10^-6 times 5,227 approx 78,4 times 10^-6 m^3
Convertendo para centímetros cúbicos:
78,4 times 10^-6 m^3 = 78,4 cm^3

Resposta

O volume da bolha imediatamente antes de romper na superfície é de aproximadamente 78,4 cm^3.

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