A posição de um objeto em movimento ao longo de uma linha reta é dada por x(t)=5t^2-3t+2 metros, onde t está em segundos.
Calcule o deslocamento para o intervalo de t=1s a t=4s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a posição de um objeto em movimento numa linha reta, dada pela função $ x(t) = 5t^2 - 3t + 2 $ metros, onde $ t $ é o tempo em segundos. O que precisamos descobrir é o deslocamento do objeto no intervalo entre $ t = 1 $ segundo e $ t = 4 $ segundos. Para isso, vamos usar conceitos básicos de cinemática, especificamente como calcular deslocamento usando a função posição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é deslocamento. O deslocamento é a diferença entre a posição final e a posição inicial do objeto. Ou seja, vamos calcular $ x(4) $ e $ x(1) $ e depois subtrair esses valores.

Passo 3

Vamos calcular a posição do objeto em $ t = 4 $ segundos usando a função $ x(t) $:
t = 4
Primeiro, elevamos 4 ao quadrado: $ 4^2 = 16 $. Depois, multiplicamos por 5: $ 5 \times 16 = 80 $. Agora, multiplicamos 3 por 4: $ 3 \times 4 = 12 $. Subtraímos esse valor de 80 e adicionamos 2:
x(t)

Passo 4

Agora, vamos calcular a posição do objeto em $ t = 1 $ segundo:
t = 1
Elevando 1 ao quadrado: $ 1^2 = 1 $. Multiplicando por 5: $ 5 \times 1 = 5 $. Multiplicando 3 por 1: $ 3 \times 1 = 3 $. Subtraímos 3 de 5 e adicionamos 2:
x(1) = 5(1)^2 - 3(1) + 2

Passo 5

Com as posições em $ t = 4 $ segundos e $ t = 1 $ segundo calculadas, podemos encontrar o deslocamento subtraindo a posição inicial da posição final:
t = 4

Resposta

O deslocamento do objeto entre $ t = 1 $ segundo e $ t = 4 $ segundos é de 66 metros.

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