Exemplo 1

Um fio de cobre de uma instalação elétrica tem uma seção reta de área 3,31 \times 10^{-6} m^{2}. Se a corrente dos portadores é de 10 A, qual a velocidade de deriva dos elétrons? Assuma que cada átomo de cobre contribui com um elétron livre para a corrente e que a densidade do cobre é 8,92 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e sua massa molar é 63,5 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (peguei estes valores do texto do problema):
  • Área da seção reta do fio: A = 3,31\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Corrente elétrica no fio: I = 10\\ \mathrm{A}.
  • Densidade do cobre: \rho = 8,92\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Massa molar do cobre: M = 63,5\\ \mathrm{g/mol}.
  • Suposição: cada átomo de cobre contribui com exatamente um elétron livre para a condução.
O que o problema pede:
  • Calcular a velocidade de deriva dos elétrons no fio (ou seja, a velocidade média com que os elétrons se deslocam devido à corrente elétrica).

Passo 2

Entendendo a fórmula que vamos usar (aula rápida e sem mistério).
  • A densidade de corrente (corrente por unidade de área) é chamada de J. Para portadores de carga de densidade numérica n (número de portadores por volume), carga por portador q e velocidade de deriva média v_{d}, vale:
J = n\,q\,v_{d}.
Explicando: J tem unidade \mathrm{A/m^{2}}, n tem unidade \mathrm{m^{-3}}, q tem unidade \mathrm{C}, v_{d} tem unidade \mathrm{m/s}. A equação diz que a corrente que passa por unidade de área é o número de cargas que atravessam por segundo multiplicado pela carga de cada uma.
  • A corrente total I que atravessa a seção de área A é
I = J\,A = n\,q\,v_{d}\,A.
  • Isolando a velocidade de deriva:
v_{d} = \frac{I}{n\,q\,A}.
Aqui: I é a corrente conhecida, A é a área conhecida, q é a carga do elétron (módulo) e n é o número de elétrons livres por metro cúbico, que precisamos calcular a partir da densidade e da massa molar.

Passo 3

Como obter n (número de elétrons por volume) a partir da densidade do cobre e da massa molar.
  • A ideia: a massa de um mol de cobre tem massa M. Um mol contém N_{A} átomos, onde N_{A} é o número de Avogadro. Se cada átomo fornece 1 elétron livre, então um mol fornece N_{A} elétrons. A massa de um mol ocupa um volume V_{\text{mol}} = \dfrac{M}{\rho}. Assim o número de elétrons por volume (densidade numérica) é
n = \frac{N_{A}}{V_{\text{mol}}} = \frac{N_{A}\,\rho}{M}.
  • Variáveis e constantes que usaremos:
    • N_{A} = 6,022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}} (número de Avogadro).
    • carga do elétron (módulo): q = e = 1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
    • converter unidades dadas para o SI:
      • \rho = 8,92\\ \mathrm{g/cm^{3}} = 8,92\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
      • M = 63,5\\ \mathrm{g/mol} = 0,0635\\ \mathrm{kg/mol}.
        Observação: as conversões foram feitas porque no SI usamos \mathrm{kg} e \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular numericamente a densidade numérica n.
  • Aplicando a fórmula \;n = \dfrac{N_{A}\,\rho}{M}\; com os valores no SI:
n = \frac{6,022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}\;\times\;8,92\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}}{0,0635\\ \mathrm{kg/mol}}.
  • Vamos calcular passo a passo (observando potências de 10):
    • Produto no numerador: 6,022\times8,92 = 53,71624 e potências 10^{23}\times10^{3}=10^{26}. Então numerador =5,371624\times10^{27}.
    • Dividindo por 0,0635 é o mesmo que multiplicar por \dfrac{1}{0,0635}\approx15,74803.
    • Assim
n \approx 5,371624\times10^{27}\times15,74803 \approx 8,46\times10^{28}\\ \mathrm{m^{-3}}.
  • Interpretação rápida: isso significa que há cerca de 8,46\times10^{28} elétrons livres em cada metro cúbico de cobre (valor típico e razoável).

Passo 5

Calcular a velocidade de deriva usando v_{d} = \dfrac{I}{n\,q\,A}.
  • Substituindo os valores (tudo em SI):
v_{d} = \frac{10\\ \mathrm{A}}{\left(8,46\times10^{28}\\ \mathrm{m^{-3}}\right)\left(1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}\right)\left(3,31\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}\right)}.
  • Vamos calcular o denominador em etapas:
    1. n\,q = 8,46\times10^{28}\times1,602\times10^{-19} \approx 1,355\times10^{10}\\ \mathrm{C/m^{3}}.
    2. Multiplicando por A: \left(n\,q\right)A \approx 1,355\times10^{10}\times3,31\times10^{-6} \approx 4,486\times10^{4}.
  • Portanto
v_{d} \approx \frac{10}{4,486\times10^{4}}\\ \mathrm{m/s} \approx 2,23\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Dar o resultado em unidades mais intuitivas e um comentário rápido.
  • Em metro por segundo: \;v_{d}\approx 2,23\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s}.
  • Em milímetros por segundo fica mais palpável: \;2,23\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s} = 0,223\\ \mathrm{mm/s}.
  • Comentário amiguinho: isso mostra que, apesar da corrente elétrica se propagar praticamente instantaneamente pela rede, os elétrons individuais se deslocam muito lentamente — são colisões constantes que diminuem sua velocidade média.

Resposta

\;v_{d} \approx 2,23\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s}

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