Duas ondas senoidas y1(x, t) e y2(x, t) têm o mesmo comprimento de onda e se propagam no sentido contrário em uma corda. As amplitudes são ym 1=5,0 mm e ym 2= 8,0 mm, e as constantes de fase são 45 e 60 graus, respectivamente.
a) (1,0) Quais são a amplitude ym^prime e a constante de fase beta da onda resultante?
b) (0,7) Escreva a onda resultante na forma da uma onda senoidal.

Passo 1

O enunciado dá duas ondas senoidais de mesma frequência e mesmo número de onda k que se somam. As amplitudes são
ym1=5,0 mm, ym2=8,0 mm
e as fases iniciais são
phi1=45^circ, phi2=60^circ
Como ambas têm o mesmo argumento (kx-omega t) mas fases diferentes, podemos somá-las por adição de fasores e obter uma única onda
y(x,t)=ym',sinl(kx-omega t+betar)
Para isso vamos:
  1. representar cada onda como fasor no plano (módulo e argumento);
  2. somar vetorialmente esses fasores;
  3. extrair o módulo ym' e o ângulo beta;
  4. escrever a forma final da onda resultante.

Passo 2

Representando cada onda por um fasor complexo de magnitude ym e fase phi, temos
vec F1 = ym1ang<=phi1 e vec F2 = ym2ang<=phi2. A soma vetorial é
vec F = vec F1 + vec F2 = ym1e^iphi1 + ym2e^iphi2
O módulo desse vetor é a amplitude resultante ym' e seu argumento é a fase beta.

Passo 3

Calcular a amplitude resultante por
ym' =l|vec Fr| =raiz,ym1^2 + ym2^2 +2,ym1ym2cos(phi2-phi1),
Substituindo valores (sempre em graus para o cosseno):
ym' =raiz5,0^2 + 8,0^2 +2cdot5,0cdot8,0cos(60^circ-45^circ) =raiz25 + 64 + 80cos15^circ approxraiz166,3 approx12,9 mm

Passo 4

Calcular a fase beta pela relação
tanbeta =ym1sinphi1+ym2sinphi2 ym1cosphi1+ym2cosphi2
Numerador e denominador valem
N=5,0sin45^circ+8,0sin60^circ approx3,535+6,928=10,463,
D=5,0cos45^circ+8,0cos60^circ approx3,535+4,000=7,535,
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beta=arctanl(tfracNDr) approxarctan(1,388) approx54,8^circ

Passo 5

Com ym' e beta encontrados, a onda resultante fica
y(x,t) =12,9 mm;sinl(kx-omega t+54,8^circr)

Resposta

(a) ym'=12,9 mm, beta=54,8^circ
(b) y(x,t)=12,9 mm,sinl(kx-omega t+54,8^circr)

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