Um sistema oscilatório bloco-mola possui uma energia mecânica de 1,00 J, uma amplitude de 10,0 cm e uma velocidade máxima de 1,50 ms^-1. Determine
a) (0,3) a constante elástica da mola
b) (0,3) a massa do bloco,
c) (0,3) a frequencia de oscilações,
d) (0,8) Em seguida, o sistema está colocado num piso com atrito e a amplitude de oscilações diminui 5,00 cm em 2 minutos. Qual é a constante de amortecimento do sistema (b)?

Passo 1

O enunciado dá um sistema massa-mola oscilatório com energia mecânica E=1,00 J, amplitude A=10,0 cm=0,100 m e velocidade máxima vmax=1,50 mcdots^-1.
Para resolver as partes (a) e (b) usamos as relações da oscilação harmônica simples
E = 12,k,A^2
vmax = A,omega
e omega = raiztfrackm.
Para (c) usamos f = tfracomega2pi.
Para (d), com atrito, a amplitude decai segundo
A(t)=A0,e^-tfracb2m,t
onde b é a constante de amortecimento que queremos achar.

Passo 2

Usando
E = 12,k,A^2
temos
k = 2EA^2 = 2cdot1,00(0,100)^2 =200
logo k=200 N/m.

Passo 3

Da relação vmax=A,omega segue omega = vmax/A e, como omega^2=k/m,
m = komega^2 = k(vmax/A)^2 = 200(1,50/0,100)^2 approx0,889
logo m=0,889 kg.

Passo 4

A frequência é
f = omega2pi = vmax/A2pi = 1,50/0,1002pi approx2,39
logo f=2,39 Hz.

Passo 5

Com amortecimento, a amplitude cai de A0=10,0 cm para A(120 s)=5,00 cm em t=120 s, então
A(120)A0=0,5 Longrightarrow 0,5 = e^-tfracb2m,120
tomando logaritmo,
b2m = 1120ln10,5 = ln2120 approx0,00578 s^-1

Passo 6

Assim,
b = 2mcdot0,00578 =2cdot0,889cdot0,00578 approx0,0103
logo a constante de amortecimento é b=0,0103 kgcdots^-1.

Resposta

a) k=200 N/m
b) m=0,889 kg
c) f=2,39 Hz
d) b=0,0103 kgcdots^-1

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