4 Em um sistema massa-mola, a massa do bloco é
e a constante elástica da mola é
. O bloco é liberado da posiçāo
. Determine
(a) a velocidade do bloco no ponto
,
(b) o trabalho realizado pela mola quando o bloco chega ao ponto
,
(c) a poténcia instantânea desenvolvida pela mola no momento em que o bloco é liberado,
(d) a polência instantânea desenvolvida pela mola quando o bloco está passando pelo ponto
e
(e) a posição do bloco no instante em que a potência desenvolvida pela mola é minima.
(a) a velocidade do bloco no ponto
(b) o trabalho realizado pela mola quando o bloco chega ao ponto
(c) a poténcia instantânea desenvolvida pela mola no momento em que o bloco é liberado,
(d) a polência instantânea desenvolvida pela mola quando o bloco está passando pelo ponto
(e) a posição do bloco no instante em que a potência desenvolvida pela mola é minima.
Passo 1
Vou organizar direitinho o que o enunciado dá e o que pede (só isso aqui, sem resolver ainda).
Dados fornecidos:
Perguntas:
(a) determinar a velocidade do bloco no ponto .
(b) determinar o trabalho realizado pela mola quando o bloco chega em .
(c) determinar a potência instantânea desenvolvida pela mola no instante em que o bloco é liberado.
(d) determinar a potência instantânea desenvolvida pela mola quando o bloco passa por .
(e) determinar a posição do bloco no instante em que a potência desenvolvida pela mola é mínima.
(a) determinar a velocidade do bloco no ponto
(b) determinar o trabalho realizado pela mola quando o bloco chega em
(c) determinar a potência instantânea desenvolvida pela mola no instante em que o bloco é liberado.
(d) determinar a potência instantânea desenvolvida pela mola quando o bloco passa por
(e) determinar a posição do bloco no instante em que a potência desenvolvida pela mola é mínima.
Repare que todas as quantidades (massas, constantes, posições) já estão numéricas — vai dar pra trabalhar com conservação de energia e com potência definida como
. Agora começo a resolver passo a passo.
Passo 2
Primeiro conceito importante (mini-aula): energia potencial elástica da mola é
onde
é a deformação da mola (positivo aqui no sentido em que o bloco parte). A energia cinética é
Como a mola é uma força conservativa, a energia mecânica total se conserva. Se o bloco é liberado do repouso em
, então
onde
é a posição em que avaliamos a velocidade
. Essa fórmula vem simplesmente de: energia inicial (toda potencial elástica) = energia cinética final + energia potencial final.
Passo 3
Aplicando a conservação de energia para encontrar
em
. Da equação do passo anterior isolamos
:
Explicando: o sinal depende do sentido do movimento. Como o bloco parte de
e vai em direção a
(isto é, para menores valores de
), o movimento tem velocidade negativa no eixo
se tomarmos para a direita sentido positivo; aqui interessamos na magnitude da velocidade, então usamos o valor positivo para módulo.
Calculemos numericamente:
Portanto
(Isto responde a (a) em magnitude; o sinal da velocidade em direção ao menor
seria negativo:
, se desejarmos o vetor.)
Passo 4
Agora o trabalho realizado pela mola entre
e
. Mini-aula curta: para uma força conservativa como a força elástica, o trabalho realizado pela mola ao mover-se de
para
vale menos a variação da energia potencial:
Como
, temos
Já calculámos
, então
Observação física: esse trabalho positivo de
é exatamente a energia cinética adquirida pelo bloco naquele ponto (coerente com conservação de energia).
Passo 5
Potência instantânea: conceito e cálculo geral. Mini-aula: potência instantânea que a força realiza sobre a massa é
onde
é a força (vetorial) aplicada pela mola no bloco e
é a velocidade do bloco. Para a mola,
(força dirigida para o ponto de equilíbrio). Outra forma útil é
porque
e
.
(c) No instante em que o bloco é liberado temos
(partiu do repouso). Portanto, seja usando
ou
,
Logo a potência inicial é zero — a mola ainda não está transferindo energia porque a velocidade é zero naquele instante.
Passo 6
(d) Potência instantânea quando o bloco passa por
.
Temos
. No ponto
a força é
A velocidade (direção) ao passar por
é para valores menores de
, isto é,
é negativo. O módulo de
já calculámos:
, então
. A potência é
Interpretando: é positiva porque a mola está fornecendo energia cinética ao bloco naquele trecho.
Passo 7
(e) posição do bloco em que a potência desenvolvida pela mola é mínima.
Primeiro escrevemos a potência como função de
durante o movimento (usando conservação de energia para eliminar
). Enquanto o bloco vai de
até
(passando por zero), a velocidade satisfaz
o sinal negativo porque o bloco está movendo-se para valores menores de
(do positivo para o negativo) durante essa metade do movimento. Assim a potência da mola sobre a massa é
Observe: para
isso é positivo; para
fica negativo. A potência mínima ao longo do movimento (mínimo absoluto) será o valor mais negativo que
assume, e isso ocorre simetricamente em algum
. É suficiente encontrar o
que maximiza
em magnitude e tomar o simétrico negativo para o mínimo (pois a função é ímpar no sentido de trocar sinal com
).
Definimos a função (proporcional a
) para
:
Para achar o máximo interior de
(0<x<x_i) é conveniente maximizar
:
Derivando:
Zerando a derivada (para extremos) obtemos
ou
. O extremo interessante é
Portanto o máximo positivo de
(em
) ocorre em
e o mínimo (mais negativo) ocorrerá em seu simétrico:
Agora substituímos numericamente
:
Esta é a posição em que a potência da mola sobre o bloco atinge o valor mínimo (mais negativo): a mola, naquele instante, está retirando energia do bloco com a maior taxa (mola “freando” o bloco com máxima rapidez).
Resposta
(a)
(módulo; direção: para menores valores de
, logo
).
(b) .
(c) .
(d) .
(e) .
(b)
(c)
(d)
(e)