4 Em um sistema massa-mola, a massa do bloco é 2,00 \mathrm{~kg} e a constante elástica da mola é k=400 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. O bloco é liberado da posiçāo x_{i}=0,700 \mathrm{~m}. Determine
(a) a velocidade do bloco no ponto x=0,4 m,
(b) o trabalho realizado pela mola quando o bloco chega ao ponto x=0,4 m,
(c) a poténcia instantânea desenvolvida pela mola no momento em que o bloco é liberado,
(d) a polência instantânea desenvolvida pela mola quando o bloco está passando pelo ponto x=0,4 \mathrm{~m} e
(e) a posição do bloco no instante em que a potência desenvolvida pela mola é minima.

Passo 1

Vou organizar direitinho o que o enunciado dá e o que pede (só isso aqui, sem resolver ainda).
Dados fornecidos:
m=2{,}00\\ \mathrm{kg},\qquad k=400\\ \mathrm{N/m},\qquad x_i=0{,}700\\ \mathrm{m}.
Perguntas:
(a) determinar a velocidade do bloco no ponto x=0{,}4\\ \mathrm{m}.
(b) determinar o trabalho realizado pela mola quando o bloco chega em x=0{,}4\\ \mathrm{m}.
(c) determinar a potência instantânea desenvolvida pela mola no instante em que o bloco é liberado.
(d) determinar a potência instantânea desenvolvida pela mola quando o bloco passa por x=0{,}4\\ \mathrm{m}.
(e) determinar a posição do bloco no instante em que a potência desenvolvida pela mola é mínima.
Repare que todas as quantidades (massas, constantes, posições) já estão numéricas — vai dar pra trabalhar com conservação de energia e com potência definida como P=F\cdot v. Agora começo a resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro conceito importante (mini-aula): energia potencial elástica da mola é
U(x)=\tfrac{1}{2}k x^{2},
onde x é a deformação da mola (positivo aqui no sentido em que o bloco parte). A energia cinética é
K=\tfrac{1}{2}m v^{2}.
Como a mola é uma força conservativa, a energia mecânica total se conserva. Se o bloco é liberado do repouso em x_i, então
\tfrac{1}{2}k x_i^{2}=\tfrac{1}{2}m v^{2}+\tfrac{1}{2}k x^{2},
onde x é a posição em que avaliamos a velocidade v. Essa fórmula vem simplesmente de: energia inicial (toda potencial elástica) = energia cinética final + energia potencial final.

Passo 3

Aplicando a conservação de energia para encontrar v em x=0{,}4\\ \mathrm{m}. Da equação do passo anterior isolamos v:
\tfrac{1}{2}m v^{2}=\tfrac{1}{2}k\bigl(x_i^{2}-x^{2}\bigr)\quad\Rightarrow\quad v=\pm\sqrt{\frac{k}{m}\bigl(x_i^{2}-x^{2}\bigr)}.
Explicando: o sinal depende do sentido do movimento. Como o bloco parte de x_i=0{,}700\\ \mathrm{m} e vai em direção a x=0{,}4\\ \mathrm{m} (isto é, para menores valores de x), o movimento tem velocidade negativa no eixo x se tomarmos para a direita sentido positivo; aqui interessamos na magnitude da velocidade, então usamos o valor positivo para módulo.
Calculemos numericamente:
\frac{k}{m}=\frac{400}{2}=200\\ \mathrm{s}^{-2},
x_i^{2}-x^{2}=0{,}700^{2}-0{,}400^{2}=0{,}49-0{,}16=0{,}33.
Portanto
v=\sqrt{200\cdot 0{,}33}=\sqrt{66}\approx 8{,}12\\ \mathrm{m/s}.
(Isto responde a (a) em magnitude; o sinal da velocidade em direção ao menor x seria negativo: v\approx -8{,}12\\ \mathrm{m/s}, se desejarmos o vetor.)

Passo 4

Agora o trabalho realizado pela mola entre x_i e x=0{,}4\\ \mathrm{m}. Mini-aula curta: para uma força conservativa como a força elástica, o trabalho realizado pela mola ao mover-se de x_i para x vale menos a variação da energia potencial:
W_{\text{mola}}=-\Delta U=U(x_i)-U(x).
Como U=\tfrac{1}{2}k x^{2}, temos
W_{\text{mola}}=\tfrac{1}{2}k\bigl(x_i^{2}-x^{2}\bigr).
Já calculámos x_i^{2}-x^{2}=0{,}33, então
W_{\text{mola}}=\tfrac{1}{2}\cdot 400\cdot 0{,}33=200\cdot 0{,}33=66\\ \mathrm{J}.
Observação física: esse trabalho positivo de 66\\ \mathrm{J} é exatamente a energia cinética adquirida pelo bloco naquele ponto (coerente com conservação de energia).

Passo 5

Potência instantânea: conceito e cálculo geral. Mini-aula: potência instantânea que a força realiza sobre a massa é
P=F\cdot v,
onde F é a força (vetorial) aplicada pela mola no bloco e v é a velocidade do bloco. Para a mola, F(x)=-k x (força dirigida para o ponto de equilíbrio). Outra forma útil é
P=-\frac{dU}{dt}=-k x\,v,
porque U=\tfrac{1}{2}k x^{2} e \dfrac{dU}{dt}=k x\,\dfrac{dx}{dt}=k x v.
(c) No instante em que o bloco é liberado temos v=0 (partiu do repouso). Portanto, seja usando P=F\cdot v ou P=-k x v,
P( \text{no instante de liberação} )=0.çã
Logo a potência inicial é zero — a mola ainda não está transferindo energia porque a velocidade é zero naquele instante.

Passo 6

(d) Potência instantânea quando o bloco passa por x=0{,}4\\ \mathrm{m}.
Temos F=-k x. No ponto x=0{,}4\\ \mathrm{m} a força é
F=-400\cdot 0{,}4=-160\\ \mathrm{N}.
A velocidade (direção) ao passar por x=0{,}4 é para valores menores de x, isto é, v é negativo. O módulo de v já calculámos: |v|=8{,}12\\ \mathrm{m/s}, então v\approx -8{,}12\\ \mathrm{m/s}. A potência é
P=F\cdot v=(-160)\cdot(-8{,}12)=+1299{,}84\\ \mathrm{W}\approx 1{,}30\times 10^{3}\\ \mathrm{W}.
Interpretando: é positiva porque a mola está fornecendo energia cinética ao bloco naquele trecho.

Passo 7

(e) posição do bloco em que a potência desenvolvida pela mola é mínima.
Primeiro escrevemos a potência como função de x durante o movimento (usando conservação de energia para eliminar v). Enquanto o bloco vai de x_i até -x_i (passando por zero), a velocidade satisfaz
v(x)=-\sqrt{\frac{k}{m}\bigl(x_i^{2}-x^{2}\bigr)},
o sinal negativo porque o bloco está movendo-se para valores menores de x (do positivo para o negativo) durante essa metade do movimento. Assim a potência da mola sobre a massa é
P(x)=F(x)\,v(x)=-k x\;v(x)= -k x\left(-\sqrt{\frac{k}{m}\bigl(x_i^{2}-x^{2}\bigr)}\right)=k x\sqrt{\frac{k}{m}\bigl(x_i^{2}-x^{2}\bigr)}.
Observe: para x>0 isso é positivo; para x<0 fica negativo. A potência mínima ao longo do movimento (mínimo absoluto) será o valor mais negativo que P assume, e isso ocorre simetricamente em algum x<0. É suficiente encontrar o x>0 que maximiza P(x) em magnitude e tomar o simétrico negativo para o mínimo (pois a função é ímpar no sentido de trocar sinal com x).
Definimos a função (proporcional a P) para x>0:
g(x)=x\sqrt{x_i^{2}-x^{2}}.
Para achar o máximo interior de g (0<x<x_i) é conveniente maximizar g^{2}:
g^{2}(x)=x^{2}(x_i^{2}-x^{2})=x_i^{2}x^{2}-x^{4}.
Derivando:
\frac{d}{dx}g^{2}=2x\bigl(x_i^{2}-2x^{2}\bigr).
Zerando a derivada (para extremos) obtemos x=0 ou x^{2}=x_i^{2}/2. O extremo interessante é
x=\frac{x_i}{\sqrt{2}}.
Portanto o máximo positivo de P(x) (em x>0) ocorre em x= x_i/\sqrt{2} e o mínimo (mais negativo) ocorrerá em seu simétrico:
x_{\text{mín}}=-\frac{x_i}{\sqrt{2}}.í
Agora substituímos numericamente x_i=0{,}700\\ \mathrm{m}:
x_{\text{mín}}=-\frac{0{,}700}{\sqrt{2}}=-0{,}700\cdot\frac{1}{1{,}41421356}\approx -0{,}495\\ \mathrm{m}.í
Esta é a posição em que a potência da mola sobre o bloco atinge o valor mínimo (mais negativo): a mola, naquele instante, está retirando energia do bloco com a maior taxa (mola “freando” o bloco com máxima rapidez).

Resposta

(a) v\approx 8{,}12\\ \mathrm{m/s} (módulo; direção: para menores valores de x, logo v\approx -8{,}12\\ \mathrm{m/s}).
(b) W_{\text{mola}}=66\\ \mathrm{J}.
(c) P=0\\ \mathrm{W}.
(d) P\approx 1{,}30\times10^{3}\\ \mathrm{W}.
(e) x_{\text{mín}}=-0{,}495\\ \mathrm{m}í.

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