(a) Determine o raio de Bohr da órbita do elétron.
(b) O comprimento de onda de de Broglie correspondente.
(Solução: (a) r_{3}=0,476 \mathrm{~nm} \quad (b) 0,997 \mathrm{~nm} )
17. Um elétron livre tem função de onda \psi(x)=A e^{i\left(5 \times 10^{10} x\right)}, onde x está em metros. Encontre
(a) Seu comprimento de onda.
(b) Seu momento.
(c) Sua energia cinética não-relativística em eV.
(Solução: (a) \lambda=1,26 \times 10^{-10} \mathrm{~m} \quad (b) p=5,26 \times 10^{-24} \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m} / \mathrm{s} \quad (c) K=94,8 \mathrm{eV} )

Passo 1

Enunciado e dados (vou separar as duas partes do exercício para ficar organizado):
Parte I (órbita de Bohr)
  • Pede (a) o raio da órbita do elétron (a solução sugere que é a órbita com índice n=3, pois aparece r_{3}) e (b) o comprimento de onda de de Broglie correspondente a essa órbita.
  • Informação implícita: índice quântico principal n=3.
Parte II (função de onda do elétron livre)
  • A função de onda dada é \psi(x)=A e^{i\left(5\times 10^{10} x\right)}, com x em metros.
  • Pede:
    (a) o comprimento de onda \lambda,
    (b) o momento p,
    (c) a energia cinética não-relativística K em electronvolts (eV).
  • Observação: a forma \psi(x)=A e^{ikx} identifica imediatamente o número de onda k.

Passo 2

Bohr — princípios úteis (aula rápida e prática)
  • No modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio usamos duas condições principais:
    1. Equilíbrio centrípeto: a força de Coulomb fornece a aceleração centrípeta. Isso dá
    \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}=\frac{m_e v^2}{r}.Aqui \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, e é a carga do elétron, m_e sua massa, v sua velocidade e r o raio da órbita.
    2. Quantização do momento angular (condição de Bohr): m_e v r = n\hbar,onde n é o número quântico principal ( n=1,2,3,\dots) e \hbar é a constante de Planck reduzida.
  • A partir dessas duas equações eliminamos v e obtemos uma expressão para o raio da órbita r_n. Vou mostrar isso passo a passo.

Passo 3

Derivando a fórmula do raio de Bohr
  • Da condição de momento angular: v=\frac{n\hbar}{m_e r}.
  • Substituindo em m_e v^2/r = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{e^2}{r^2}: m_e\frac{1}{r}\left(\frac{n\hbar}{m_e r}\right)^2=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}.
  • Simplificando (cancelei um r e m_e): \frac{n^2\hbar^2}{m_e r^3}=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}.
  • Isolando r: r_n=\frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2}\,n^2.
  • Definimos o raio de Bohr (para n=1) como a_0=\frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2},então r_n=a_0 n^2.
  • Explicação dos símbolos: \varepsilon_0 (F/m), \hbar (J·s), m_e (kg), e (C). Essa fórmula é padrão e muito útil — memorizá-la salva tempo na prova.

Passo 4

Calculando numericamente o raio de Bohr a_0 e r_3
  • Valores das constantes (uso valores padrão): \hbar=1,054571817\times 10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s},
\varepsilon_0=8,854187817\times 10^{-12}\\ \mathrm{F/m},
m_e=9,10938356\times 10^{-31}\\ \mathrm{kg},
e=1,602176634\times 10^{-19}\\ \mathrm{C}.
  • Substituindo na expressão de a_0: a_0=\frac{4\pi(8,854187817\times 10^{-12})(1,054571817\times 10^{-34})^2}{(9,10938356\times 10^{-31})(1,602176634\times 10^{-19})^2}.
  • Calculando (resumo das contas): a_0\approx 5,29\times 10^{-11}\\ \mathrm{m}.Isso é um resultado clássico: a_0\approx 0,0529\\ \mathrm{nm}.
  • Agora para n=3: r_3=a_0\cdot 3^2=9 a_0=9\times 5,29\times 10^{-11}\\ \mathrm{m}=4,761\times 10^{-10}\\ \mathrm{m}.
  • Convertendo para nanômetros ( 1\\ \mathrm{nm}=10^{-9}\\ \mathrm{m}): r_3=0,476\\ \mathrm{nm}.

Passo 5

Comprimento de onda de de Broglie na órbita de Bohr — ideia e fórmula
  • Na condição de Bohr a onda associada ao elétron dá um número inteiro de comprimentos de onda ao longo da circunferência: 2\pi r_n = n\lambda.Isso vem da ideia de que a função de onda deve ficar em fase após um giro completo.
  • Portanto \lambda=\frac{2\pi r_n}{n}.
  • Substituindo r_n=a_0 n^2: \lambda=\frac{2\pi a_0 n^2}{n}=2\pi a_0 n.
  • Para n=3: \lambda=2\pi a_0\cdot 3 =6\pi a_0.

Passo 6

Calculando numericamente \lambda para n=3
  • Usando a_0\approx 5,29\times 10^{-11}\\ \mathrm{m}: \lambda=6\pi\times 5,29\times 10^{-11}\\ \mathrm{m}.
  • Fazendo a conta: \lambda\approx 9,97\times 10^{-10}\\ \mathrm{m}=0,997\\ \mathrm{nm}.
  • Interpretação rápida: esse é o comprimento de onda associado ao elétron na órbita n=3; é da ordem de nanômetros (bem maior que o raio de Bohr por um fator ~2π/n).

Passo 7

Agora parte II — interpretação da função de onda livre e identificação do número de onda
  • A função dada tem a forma padrão de uma onda plana: \psi(x)=A e^{i k x}com k sendo o número de onda.
  • Comparando com \psi(x)=A e^{i(5\times 10^{10} x)} vemos que k=5\times 10^{10}\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • Dica prática na prova: sempre identifique k diretamente na fase e^{ikx}.

Passo 8

Comprimento de onda \lambda a partir de k
  • Relação entre k e \lambda: k=\frac{2\pi}{\lambda}\quad\Longrightarrow\quad \lambda=\frac{2\pi}{k}.
  • Substituindo k=5\times 10^{10}\\ \mathrm{m^{-1}}: \lambda=\frac{2\pi}{5\times 10^{10}}\\ \mathrm{m}\approx 1,2566\times 10^{-10}\\ \mathrm{m}.
  • Arredondando com 3 dígitos significativos: \lambda\approx 1,26\times 10^{-10}\\ \mathrm{m}.

Passo 9

Momento p associado à função de onda (autovalor do operador momento)
  • Para uma onda plana a relação entre momento e k é p=\hbar k.(Explicação rápida: o operador momento é -i\hbar \frac{d}{dx}. Quando age sobre e^{ikx} retorna \hbar k multiplicando a função — por isso a onda plana é um autovetor do operador momento.)
  • Substituindo valores: p=\hbar k=(1,054571817\times 10^{-34})(5\times 10^{10})\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Calculando: p\approx 5,27\times 10^{-24}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Arredondando como na solução proposta: p\approx 5,26\times 10^{-24}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 10

Energia cinética não-relativística K e conversão para eV
  • Para partícula não-relativística: K=\frac{p^2}{2m_e}.
  • Usando p=\hbar k podemos escrever também K=\frac{\hbar^2 k^2}{2m_e}.
  • Substituindo números: K=\frac{(1,054571817\times 10^{-34})^2(5\times 10^{10})^2}{2(9,10938356\times 10^{-31})}\\ \mathrm{J}.
  • Calculando o valor em joules dá aproximadamente K\approx 1,52\times 10^{-17}\\ \mathrm{J}.
  • Para converter para electronvolts usamos 1\\ \mathrm{eV}=1,602176634\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}, portanto K\approx \frac{1,52\times 10^{-17}}{1,602176634\times 10^{-19}}\\ \mathrm{eV}\approx 95\\ \mathrm{eV}.
  • Arredondando conforme a solução fornecida: K\approx 94,8\\ \mathrm{eV}.

Resposta

(a) r_{3}=0,476\\ \mathrm{nm}
(b) \lambda=0,997\\ \mathrm{nm}
(a) \lambda=1,26\times 10^{-10}\\ \mathrm{m}
(b) p=5,26\times 10^{-24}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}
(c) K=94,8\\ \mathrm{eV}

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