(a) Determine o raio de Bohr da órbita do elétron.
(b) O comprimento de onda de de Broglie correspondente.
(Solução: (a)
(b)
)
17. Um elétron livre tem função de onda
, onde
está em metros. Encontre
(a) Seu comprimento de onda.
(b) Seu momento.
(c) Sua energia cinética não-relativística em eV.
(Solução: (a)
(b)
(c)
)
(b) O comprimento de onda de de Broglie correspondente.
(Solução: (a)
17. Um elétron livre tem função de onda
(a) Seu comprimento de onda.
(b) Seu momento.
(c) Sua energia cinética não-relativística em eV.
(Solução: (a)
Passo 1
Enunciado e dados (vou separar as duas partes do exercício para ficar organizado):
Parte I (órbita de Bohr)
- Pede (a) o raio da órbita do elétron (a solução sugere que é a órbita com índice
, pois aparece ) e (b) o comprimento de onda de de Broglie correspondente a essa órbita. - Informação implícita: índice quântico principal
.
Parte II (função de onda do elétron livre)
- A função de onda dada é
, com em metros. - Pede:
(a) o comprimento de onda,
(b) o momento,
(c) a energia cinética não-relativísticaem electronvolts (eV). - Observação: a forma
identifica imediatamente o número de onda .
Passo 2
Bohr — princípios úteis (aula rápida e prática)
- No modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio usamos duas condições principais:
- Equilíbrio centrípeto: a força de Coulomb fornece a aceleração centrípeta. Isso dá
Aqui é a permissividade do vácuo, é a carga do elétron, sua massa, sua velocidade e o raio da órbita.
2. Quantização do momento angular (condição de Bohr):onde é o número quântico principal ( ) e é a constante de Planck reduzida. - A partir dessas duas equações eliminamos
e obtemos uma expressão para o raio da órbita . Vou mostrar isso passo a passo.
Passo 3
Derivando a fórmula do raio de Bohr
- Da condição de momento angular:
- Substituindo em
: - Simplificando (cancelei um
e ): - Isolando
: - Definimos o raio de Bohr (para
) como então - Explicação dos símbolos:
(F/m), (J·s), (kg), (C). Essa fórmula é padrão e muito útil — memorizá-la salva tempo na prova.
Passo 4
Calculando numericamente o raio de Bohr
e
- Valores das constantes (uso valores padrão):
- Substituindo na expressão de
: - Calculando (resumo das contas):
Isso é um resultado clássico: . - Agora para
: - Convertendo para nanômetros (
):
Passo 5
Comprimento de onda de de Broglie na órbita de Bohr — ideia e fórmula
- Na condição de Bohr a onda associada ao elétron dá um número inteiro de comprimentos de onda ao longo da circunferência:
Isso vem da ideia de que a função de onda deve ficar em fase após um giro completo. - Portanto
- Substituindo
: - Para
:
Passo 6
Calculando numericamente
para
- Usando
: - Fazendo a conta:
- Interpretação rápida: esse é o comprimento de onda associado ao elétron na órbita
; é da ordem de nanômetros (bem maior que o raio de Bohr por um fator ~2π/n).
Passo 7
Agora parte II — interpretação da função de onda livre e identificação do número de onda
- A função dada tem a forma padrão de uma onda plana:
com sendo o número de onda. - Comparando com
vemos que - Dica prática na prova: sempre identifique
diretamente na fase .
Passo 8
Comprimento de onda
a partir de
- Relação entre
e : - Substituindo
: - Arredondando com 3 dígitos significativos:
Passo 9
Momento
associado à função de onda (autovalor do operador momento)
- Para uma onda plana a relação entre momento e
é (Explicação rápida: o operador momento é . Quando age sobre retorna multiplicando a função — por isso a onda plana é um autovetor do operador momento.) - Substituindo valores:
- Calculando:
- Arredondando como na solução proposta:
Passo 10
Energia cinética não-relativística
e conversão para eV
- Para partícula não-relativística:
- Usando
podemos escrever também - Substituindo números:
- Calculando o valor em joules dá aproximadamente
- Para converter para electronvolts usamos
, portanto - Arredondando conforme a solução fornecida:
Resposta
(a)
(b)
(b)
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)