Duas ondas viajando ao longo de uma corda em sentído contrário são dadas pelas equações y1(x, t)=(0,015 m) cos (x / 2-40 t) e y2(x, t)=(0,015 m) cos (x / 2+40 t). Os deslocamentos x e y são dados em metros e o tempo t em segundos. Determine a) A onda estacionária resultante da superposição das duas ondas y1 e y2. b) As posições dos nós e ventre da onda estacionária resultante. c) Qual o desiocamento máximo na posição x=0,4 m

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre ondas! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos precisamos usar. Temos duas ondas que viajam em direções opostas ao longo de uma corda, dadas pelas equações:
y1(x, t) = 0,015,m cdot cos(x2 - 40t)
y2(x, t) = 0,015,m cdot cos(x2 + 40t)
Precisamos:
a) Encontrar a onda estacionária resultante da superposição dessas duas ondas.
b) Determinar as posições dos nós (pontos sem deslocamento) e ventres (pontos de deslocamento máximo) dessa onda estacionária.
c) Calcular o deslocamento máximo na posição $ x = 0{,}4,m $.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de superposição de ondas e ondas estacionárias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é superposição de ondas. Quando duas ondas se encontram, elas se somam para formar uma nova onda. Matemáticamente, isso significa que a onda resultante $ y(x, t) $ é a soma das duas ondas originais:
y(x, t)
Vamos somar as duas funções dadas:
y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t)

Passo 3

Para simplificar essa soma, podemos usar a identidade trigonométrica que diz:
cos A + cos B = 2 cos(A + B2) cos(A - B2)
Aqui, vamos identificar:
A = x2 - 40t
B = x2 + 40t
Aplicando a identidade:
y(x, t) = 2 cdot 0,015 cdot cos((x2 - 40t) + (x2 + 40t)2) cdot cos((x2 - 40t) - (x2 + 40t)2)

Passo 4

Simplificando os argumentos das funções cosseno:
A + B2 = x2 - 40t + x2 + 40t2 = x2
A - B2 = x2 - 40t - x2 - 40t2 = -80t2 = -40t
Então:
y(x, t) = 2 cdot 0,015 cdot cos(x2) cdot cos(-40t)
Sabemos que $ \cos(-\theta) = \cos(\theta) $, então:
cos(-theta) = cos(theta)
Simplificando os coeficientes:
y(x, t) = 2 cdot 0,015 cdot cos(x2) cdot cos(40t)

Passo 5

Agora, identificamos a forma da onda estacionária. Ela pode ser escrita como:
y(x, t) = 2A cos(kx) cos(omega t)
Onde:
  • $ A $ é a amplitude das ondas individuais.
  • $ k $ é o número de onda.
  • $ \omega $ é a frequência angular.
Comparando com a nossa expressão, temos:
A
k
omega

Passo 6

Então, a onda estacionária resultante da superposição de $ y_{1} $ e $ y_{2} $ é:
y1

Passo 7

Agora, vamos para a parte b) e determinar as posições dos nós e ventres da onda estacionária.
Em uma onda estacionária, os nós são pontos onde o deslocamento é sempre zero, e os ventres são pontos onde o deslocamento atinge seu máximo.
As posições dos nós ocorrem onde $ \cos\left(\frac{x}{2}\right) = 0 $, e os ventres ocorrem onde $ \cos\left(\frac{x}{2}\right) = \pm1 $.

Passo 8

Vamos encontrar os nós:
cos(x2) = 0
Isso ocorre quando:
x2 = pi2 + npi onde n é um inteiro é
Multiplicando ambos os lados por 2:
x = pi + 2npi
Então, os nós estão nas posições:
x = pi, , 3pi, , 5pi, ldots
Agora, para os ventres:
cos(x2) = pm1
Isso ocorre quando:
x2 = npi onde n é um inteiro é
Multiplicando ambos os lados por 2:
x = 2npi
Então, os ventres estão nas posições:
x = 0, , 2pi, , 4pi, ldots

Passo 9

Finalmente, vamos para a parte c) e calcular o deslocamento máximo na posição $ x = 0{,}4,m $.
Usamos a expressão da onda estacionária:
x = 0,4,m
Simplificando:
y(0,4, t) = 0,03 cdot cos(0,42) cdot cos(40t)
Calculando $ \cos(0{,}2) $:
y(0,4, t) = 0,03 cdot cos(0,2) cdot cos(40t)
Então:
cos(0,2)
O deslocamento máximo ocorre quando $ \cos(40t) = 1 $:
cos(0,2) approx 0,9801 á

Resposta

a) A onda estacionária resultante é $ y(x, t) = 0{,}03 \cdot \cos\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \cos(40t) $.
b) Os nós estão nas posições $ x = \pi, , 3\pi, , 5\pi, ··· $ metros, e os ventres estão nas posições $ x = 0, , 2\pi, , 4\pi, ··· $ metros.
c) O deslocamento máximo na posição $ x = 0{,}4,m $ é aproximadamente $ 0{,}0294,m $.

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