Duas ondas viajando ao longo de uma corda em sentído contrário são dadas pelas equações
e
. Os deslocamentos
e
são dados em metros e o tempo
em segundos. Determine a) A onda estacionária resultante da superposição das duas ondas
e
. b) As posições dos nós e ventre da onda estacionária resultante. c) Qual o desiocamento máximo na posição
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre ondas! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos precisamos usar. Temos duas ondas que viajam em direções opostas ao longo de uma corda, dadas pelas equações:
Precisamos:
a) Encontrar a onda estacionária resultante da superposição dessas duas ondas.
b) Determinar as posições dos nós (pontos sem deslocamento) e ventres (pontos de deslocamento máximo) dessa onda estacionária.
c) Calcular o deslocamento máximo na posição $ x = 0{,}4,m $.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de superposição de ondas e ondas estacionárias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é superposição de ondas. Quando duas ondas se encontram, elas se somam para formar uma nova onda. Matemáticamente, isso significa que a onda resultante $ y(x, t) $ é a soma das duas ondas originais:
Vamos somar as duas funções dadas:
Passo 3
Para simplificar essa soma, podemos usar a identidade trigonométrica que diz:
Aqui, vamos identificar:
Aplicando a identidade:
Passo 4
Simplificando os argumentos das funções cosseno:
Então:
Sabemos que $ \cos(-\theta) = \cos(\theta) $, então:
Simplificando os coeficientes:
Passo 5
Agora, identificamos a forma da onda estacionária. Ela pode ser escrita como:
Onde:
- $ A $ é a amplitude das ondas individuais.
- $ k $ é o número de onda.
- $ \omega $ é a frequência angular.
Comparando com a nossa expressão, temos:
Passo 6
Então, a onda estacionária resultante da superposição de $ y_{1} $ e $ y_{2} $ é:
Passo 7
Agora, vamos para a parte b) e determinar as posições dos nós e ventres da onda estacionária.
Em uma onda estacionária, os nós são pontos onde o deslocamento é sempre zero, e os ventres são pontos onde o deslocamento atinge seu máximo.
As posições dos nós ocorrem onde $ \cos\left(\frac{x}{2}\right) = 0 $, e os ventres ocorrem onde $ \cos\left(\frac{x}{2}\right) = \pm1 $.
Passo 8
Vamos encontrar os nós:
Isso ocorre quando:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Então, os nós estão nas posições:
Agora, para os ventres:
Isso ocorre quando:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Então, os ventres estão nas posições:
Passo 9
Finalmente, vamos para a parte c) e calcular o deslocamento máximo na posição $ x = 0{,}4,m $.
Usamos a expressão da onda estacionária:
Simplificando:
Calculando $ \cos(0{,}2) $:
Então:
O deslocamento máximo ocorre quando $ \cos(40t) = 1 $:
Resposta
a) A onda estacionária resultante é $ y(x, t) = 0{,}03 \cdot \cos\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \cos(40t) $.
b) Os nós estão nas posições $ x = \pi, , 3\pi, , 5\pi, ··· $ metros, e os ventres estão nas posições $ x = 0, , 2\pi, , 4\pi, ··· $ metros.
c) O deslocamento máximo na posição $ x = 0{,}4,m $ é aproximadamente $ 0{,}0294,m $.