Uma massa de 50 g presa à extremidade de uma mola de constante elástica k=0,12 N / m se move sobre uma superficie horizontal sem atrito em movimento harmônico simples com periodo de 4 s . no tempo t=0, a massa é liberada da posição XM=16 cm, como mostrado na figura. Determine: a) a frequência angular omega e a constante de fase varphi, b ) a função que expressa o deslocamento x(t) em função do tempo e c) a energia total do sistema massa-mola.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Movimento Harmônico Simples (MHS). A gente tem uma massa pendurada em uma mola e ela está se movendo de um jeito oscilatório sem atrito. Para isso, vamos precisar entender conceitos como frequência angular ( omega), constante de fase ( varphi), função de deslocamento ( x(t)) e energia total do sistema. Vamos lá!

Passo 2

a) Determinar a frequência angular omega e a constante de fase varphi
Primeiro, vamos lembrar que o período ( T) do movimento é o tempo que a massa leva para completar uma oscilação completa. A frequência angular ( omega) está relacionada com o período pela fórmula:
omega = 2piT
Dado que T = 4, s, substituindo na fórmula:
omega = 2pi4 = pi2, rad/s
Agora, vamos achar a constante de fase ( varphi). A posição inicial da massa é XM = 16, cm = 0,16, m no tempo t = 0. A função geral do MHS é:
x(t) = A cos(omega t + varphi)
No tempo t = 0, temos:
x(0) = A cos(varphi) = 0,16, m
Como a massa é liberada da posição máxima, isso significa que a velocidade inicial é zero, e a fase inicial varphi é zero. Então:
varphi = 0

Passo 3

b) Encontrar a função que expressa o deslocamento x(t) em função do tempo
Agora que já temos omega = pi2, rad/s e varphi = 0, podemos escrever a função de deslocamento:
x(t) = A cos(omega t + varphi)
Substituindo os valores encontrados:
x(t) = 0,16 cos(pi2 t)
Aqui, A = 0,16, m é a amplitude do movimento.

Passo 4

c) Calcular a energia total do sistema massa-mola
A energia total em um sistema massa-mola em MHS é a soma da energia cinética e da energia potencial elástica, mas no MHS ela permanece constante e é igual à energia potencial máxima ou à energia cinética máxima. A fórmula para a energia total ( E) é:
E = 12 k A^2
Onde k é a constante elástica da mola e A é a amplitude.
Dado que k = 0,12, N/m e A = 0,16, m, substituindo na fórmula:
E = 12 times 0,12 times (0,16)^2
Calculando:
E = 0,06 times 0,0256 = 0,001536, J

Resposta

a) Frequência angular omega = pi2, rad/s e constante de fase varphi = 0.
b) Função de deslocamento x(t) = 0,16 cos(pi2 t) metros.
c) Energia total do sistema E = 0,001536, J.

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