Uma massa de 50 g presa à extremidade de uma mola de constante elástica
se move sobre uma superficie horizontal sem atrito em movimento harmônico simples com periodo de 4 s . no tempo
, a massa é liberada da posição
, como mostrado na figura. Determine: a) a frequência angular
e a constante de fase
) a função que expressa o deslocamento
em função do tempo e c) a energia total do sistema massa-mola.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Movimento Harmônico Simples (MHS). A gente tem uma massa pendurada em uma mola e ela está se movendo de um jeito oscilatório sem atrito. Para isso, vamos precisar entender conceitos como frequência angular (
), constante de fase (
), função de deslocamento (
) e energia total do sistema. Vamos lá!
Passo 2
a) Determinar a frequência angular
e a constante de fase
Primeiro, vamos lembrar que o período (
) do movimento é o tempo que a massa leva para completar uma oscilação completa. A frequência angular (
) está relacionada com o período pela fórmula:
Dado que
, substituindo na fórmula:
Agora, vamos achar a constante de fase (
). A posição inicial da massa é
no tempo
. A função geral do MHS é:
No tempo
, temos:
Como a massa é liberada da posição máxima, isso significa que a velocidade inicial é zero, e a fase inicial
é zero. Então:
Passo 3
b) Encontrar a função que expressa o deslocamento
em função do tempo
Agora que já temos
e
, podemos escrever a função de deslocamento:
Substituindo os valores encontrados:
Aqui,
é a amplitude do movimento.
Passo 4
c) Calcular a energia total do sistema massa-mola
A energia total em um sistema massa-mola em MHS é a soma da energia cinética e da energia potencial elástica, mas no MHS ela permanece constante e é igual à energia potencial máxima ou à energia cinética máxima. A fórmula para a energia total (
) é:
Onde
é a constante elástica da mola e
é a amplitude.
Dado que
e
, substituindo na fórmula:
Calculando:
Resposta
a) Frequência angular
e constante de fase
.
b) Função de deslocamento
metros.
c) Energia total do sistema
.