Uma esfera de aço é comprimida em um torno e os resultados mostram que a lei de Hooke é um bom modelo para o comportamento elástico da esfera. Quando uma força de 16,0 k N é exercida pelo torno, comprimindo a esfera, isso resulta em uma redução de 0,200 mm no diâmetro da esfera. O diâmetro retorna ao seu valor original quando a força é removida. Duas esferas de aço idênticas àquela comprimida pelo torno, cada uma com um diâmetro de 25,4 mm e movendo-se em direções opostas a 5,00 m / s cada, se chocam e se afastam. (a) Modelando a esfera como uma mola, encontre sua constante elástica; (b) sendo a densidade volumétrica do aço igual a 7860 kg / m^3, encontre a energia cinética de cada esfera antes da colisão; © qual a compressão máxima de cada esfera durante a colisão?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem uma esfera de aço que se comporta como uma mola (Lei de Hooke). Quando aplicam 16,0 kN no torno, ela “mola” e o diâmetro encolhe 0,200 mm, voltando ao normal depois. Aí vêm três perguntas:
a) achar a constante elástica da “mola-esfera”.
b) usar a densidade do aço ( ) pra calcular a energia cinética de cada esfera antes de bater, já que cada uma tem diâmetro 25,4 mm e velocidade 5,00 m/s.
c) achar qual a compressão máxima de cada esfera na colisão, modelando de novo como mola.
O que vamos precisar:
  • Lei de Hooke ( );
  • volume da esfera e ;
  • energia cinética ;
  • conservação de energia ao comprimir as duas “molas” na colisão.

Passo 2

Vamos achar a constante elástica F = k,x .
Pela Lei de Hooke, a força k = Fx = 1,60times10^42,00times10^-4 = 8,00times10^7;N/m e a deformação estão ligadas por
Aqui e .
Isolando :

Passo 3

Agora a massa de cada esfera e a energia cinética antes da colisão.
  1. Raio da esfera: V = 43,pi,r^3 = 43pi(0,0127)^3 approx 8,57times10^-6;m^3
  2. Volume:
m = rho,V = 7860times8,57times10^-6 approx 0,0674;kg
  1. Massa:
K = tfrac12,m,v^2 = tfrac12,(0,0674),(5,00)^2 = 0,5times0,0674times25 approx 0,843;J
  1. Energia cinética de cada uma:

Passo 4

Compressão máxima na colisão.
Quando as duas esferas se chocam, cada uma se comporta como uma mola de constante Erm total = 2K = 2times0,843 = 1,686;J . Elas comprimem simultaneamente e armazenam energia elástica até parar momentaneamente. A energia total disponível é a soma das duas energias cinéticas iniciais:
Erm el = underbracetfrac12 k x^2esfera 1 +underbracetfrac12 k x^2esfera 2 = k,x^2
Como são duas “molas” iguais, a energia elástica total armazenada é
k,x^2 = Erm total Longrightarrow x = raizErm totalk = raiz1,6868,00times10^7 approx 4,59times10^-4;m = 0,459;mm
Aqui é a compressão de cada esfera. Igualando energia cinética total à elástica:

Resposta

a)
b) (cada esfera)
c) Compressão máxima (por esfera)

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