Duas opções são propostas para a manutenção da velocidade constante na região central, uma é através de uma seção variável e outra tirando massa através de pequenos orifícios nas paredes, mantendo a distância entre as placas constante.
a) Calcule, para a primeira opção, a distância entre as placas como função da distancia axial, x , a partir da entrada, cuja altura é a nominal
b) Para a segunda opção calcule a massa de ar que deve ser retirada por unidade de comprimento, em função da distância axial, x

Passo 1

O enunciado trata de um escoamento de ar entre duas placas paralelas de largura constante b. A entrada tem espaçamento nominal H_{0} e velocidade nominal U_{0}. Queremos manter a velocidade na região central igual a U_{0}\(ao longo dex), usando duas estratégias:
  1. variar o espaçamento h(x),
  2. manter h=H_{0} e retirar massa pelas paredes.
    Para ambas vamos usar a equação de continuidade (conservação de massa).

Passo 2

Escrevendo a continuidade em regime estacionário e unidimensional, com densidade \rho(x) e velocidade U(x), temos
\dot m \;=\;\rho(x)\,U(x)\,b\,h(x)\;=\;\text{constante}.
Na entrada x=0 vale \rho(0)=\rho_{0}, U(0)=U_{0}, h(0)=H_{0}, logo
\dot m=\rho_{0}\,U_{0}\,b\,H_{0}.

Passo 3

Para a primeira opção queremos U(x)=U_{0} em todo x. Basta então isolar h(x) na continuidade:
\rho_{0}\,U_{0}\,b\,H_{0} =\rho(x)\,U_{0}\,b\,h(x) \quad\Longrightarrow\quad h(x) =\frac{\rho_{0}}{\rho(x)}\,H_{0}.

Passo 4

Na segunda opção fixamos h(x)=H_{0} e U(x)=U_{0}. A vazão mássica remanescente ao longo do canal fica
\dot m(x)=\rho(x)\,U_{0}\,b\,H_{0}.
Para manter a vazão central constante igual a \dot m(0) é preciso extrair massa pelas paredes.

Passo 5

A massa a retirar por unidade de comprimento em x, digamos m'(x), é o decréscimo de \dot m(x), ou seja
m'(x) =-\frac{d}{dx}\bigl[\dot m(x)\bigr] =-\frac{d}{dx}\bigl(\rho(x)\,U_{0}\,b\,H_{0}\bigr) =-\,b\,H_{0}\,U_{0}\,\frac{d\rho}{dx}.

Resposta

a) \displaystyle h(x)=\frac{\rho_{0}}{\rho(x)}\,H_{0}.
b) \displaystyle m'(x)=-\,b\,H_{0}\,U_{0}\,\frac{d\rho}{dx}.

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