Considerando o perfil 1 / 7 para o escoamento turbulento em camada limite, obtenha uma expressão para \delta(\mathrm{x}) / \mathrm{x}, calcule o \mathrm{C}_{\mathrm{f}} e a força total de cisalhamento em uma placa de comprimento \mathrm{L}=2 \mathrm{~m}, para um \mathrm{Re}_{\mathrm{L}}=40000. OBS: Note que \partial \mathrm{u} / \partial \mathrm{y} \rightarrow \infty \mathrm{em} \mathrm{y}=0, desta forma não é possível obter a tensão cisalhante na parede. Por isso, deve utilizar a equação integral de von Karman, para obter esta aproximação.

Passo 1

O enunciado trata de um escoamento turbulento em camada‐limite sobre placa plana com perfil aproximado por “lei de potência”
\frac{u}{U}= \Bigl(\frac{y}{\delta(x)}\Bigr)^{1/7}
e pede:
  1. expressão para \delta(x)/x,
  2. coeficiente de atrito local C_f(x),
  3. força total de cisalhamento na placa de comprimento L=2\rm\\ m para \mathrm{Re}_L=4\times10^4.
    Como \partial u/\partial y\big|_{y=0}\to\infty, não usamos \tau_w=\mu\,\partial u/\partial y, mas a equação integral de von Kármán em PGZ \mathrm{d}U/\mathrm{d}x=0:
\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}x}=\frac{C_f}{2},
onde \theta é espessura de momento. Vamos precisar ainda da relação entre \theta e \delta para o perfil 1/7.

Passo 2

Cálculo de \theta em função de \delta. Por definição
\theta=\int_0^\delta \frac{u}{U}\Bigl(1-\frac{u}{U}\Bigr)\,\mathrm{d}y =\delta\int_0^1 \eta^{1/7}\bigl(1-\eta^{1/7}\bigr)\,\mathrm{d}\eta,\quad \eta=\frac{y}{\delta}.
Fazendo as integrais
\int_0^1\eta^{1/7}\,\mathrm{d}\eta=\frac{1}{1+1/7}=\frac{7}{8},\qquad \int_0^1\eta^{2/7}\,\mathrm{d}\eta=\frac{1}{1+2/7}=\frac{7}{9},
vem
\theta =\delta\Bigl(\frac{7}{8}-\frac{7}{9}\Bigr) =\delta\;\frac{7}{72} =\frac{7}{72}\,\delta.

Passo 3

Aplicando a integral de von Kármán para PGZ:
\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}x}=\frac{C_f}{2}.
Como \theta=(7/72)\,\delta,
\frac{7}{72}\,\frac{\mathrm{d}\delta}{\mathrm{d}x}=\frac{C_f}{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\mathrm{d}\delta}{\mathrm{d}x}=\frac{36}{7}\,C_f.

Passo 4

Para fechar o sistema, usamos a correlação de potência bem conhecida para turbulento em PGZ sobre placa plana (1/7‐law):
C_f(x)=0.0592\;\mathrm{Re}_x^{-1/5},\qquad \mathrm{Re}_x=\frac{U\,x}{\nu}.
Então
\frac{\mathrm{d}\delta}{\mathrm{d}x} =\frac{36}{7}\,0.0592\,(U/\nu)^{-1/5}\,x^{-1/5} =0.3039\,(U/\nu)^{-1/5}\,x^{-1/5}.
Integrando de 0 a x:
\delta(x) =0.3039\,(U/\nu)^{-1/5}\int_0^x s^{-1/5}\,\mathrm{d}s =0.3039\;(U/\nu)^{-1/5}\,\frac{5}{4}\,x^{4/5} =0.3799\,(U/\nu)^{-1/5}\,x^{4/5}.
Dividindo por x:
\boxed{ \frac{\delta(x)}{x} =0.3799\;\mathrm{Re}_x^{-1/5}. }

Passo 5

O coeficiente de atrito local fica então
\boxed{ C_f(x)=0.0592\;\mathrm{Re}_x^{-1/5}. }
Para x=L=2\rm\\ m e \mathrm{Re}_L=4\times10^4,
\mathrm{Re}_L^{-1/5}=(4\times10^4)^{-0.2}\approx0.1202,
logo
\frac{\delta(L)}{L}=0.3799\times0.1202\approx0.0457, \quad C_f(L)=0.0592\times0.1202\approx0.00711.

Passo 6

A força total de cisalhamento por unidade de largura é
F=\int_0^L \tau_w\,\mathrm{d}x =\frac12\,\rho\,U^2\int_0^L C_f(x)\,\mathrm{d}x =\frac12\,\rho\,U^2\;0.0592\;(U/\nu)^{-1/5} \int_0^L x^{-1/5}\,\mathrm{d}x.
Já temos \int_0^L x^{-1/5}\,\mathrm{d}x=\tfrac{5}{4}L^{4/5}. Logo
F =\frac12\,\rho\,U^2\;0.0592\,(U/\nu)^{-1/5}\;\frac{5}{4}\,L^{4/5} =\frac12\,\rho\,U^2\;0.0740\;L\;\mathrm{Re}_L^{-1/5}.
Substituindo \mathrm{Re}_L^{-1/5}\approx0.1202:
\boxed{ F =0.5\,\rho\,U^2\;0.0740\;2\,\times0.1202 \approx0.0089\;\rho\,U^2. }
Se quiser em valores numéricos, é preciso assumir \rho e U (por exemplo U=L\,\nu^{-1}\mathrm{Re}_L^{-1}, etc.).

Resposta

\displaystyle \frac{\delta(x)}{x}=0.380\;\mathrm{Re}_x^{-1/5}, \quad C_f(x)=0.0592\;\mathrm{Re}_x^{-1/5}, \quad F=\frac12\,\rho\,U^2\;0.0740\;L\;\mathrm{Re}_L^{-1/5}.

Exercícios relacionados