Duas partículas A e B deslocam -se ao longo de uma mesma trajetória. Suas funções horárias, definidas a partir do mesmo referencial, são dadas por:
x_{A}=4 t^{2} \text { e } x_{B}=5 t^{2}-4 t
com \mathbf{x} em metros et em segundos.
Determine:
a) para que valores de \mathbf{t} as partículas se encontram;
b) as posições em que os encontros ocorrem.

Passo 1

O enunciado dá duas funções horárias de posição ao longo da mesma trajetória:
x_{A}(t)=4t^{2}, \quad x_{B}(t)=5t^{2}-4t.
O conteúdo aqui é encontro de partículas, ou seja, precisamos achar os instantes t em que as posições são iguais e depois calcular essa posição comum.

Passo 2

Para encontrar os instantes de encontro igualamos as posições de A e B:
4t^{2}=5t^{2}-4t.
Em seguida, trazemos todos os termos para o mesmo lado da igualdade para obter um polinômio igual a zero.

Passo 3

Subtraindo 4t^2 dos dois lados, temos
0 = 5t^{2}-4t -4t^{2} = t^{2}-4t.
Fatorando,
t(t-4)=0,
logo os encontros ocorrem em
t=0\quad\text{e}\quad t=4\\ (\text{s}).

Passo 4

Agora calculamos a posição de encontro substituindo esses valores em qualquer uma das funções (por exemplo, em x_{A}):
x_{A}(0)=4\cdot0^{2}=0\\ (\text{m}),
x_{A}(4)=4\cdot4^{2}=4\cdot16=64\\ (\text{m}).

Resposta

a) Os instantes de encontro são t=0 s e t=4 s.
b) As posições de encontro são x=0 m e x=64 m.

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