Use derivada para determinar a velocidade v(t) e a aceleração a(t) a partir de cada uma das posições abaixo:
(c) x(t)=t^{6}+\frac{1}{16} t^{4}-\frac{4}{6} t^{2}-5

Passo 1

O enunciado pede para calcular a velocidade v(t) e a aceleração a(t) a partir da posição
x(t)=t^{6}+\frac{1}{16}\,t^{4}-\frac{4}{6}\,t^{2}-5.
O conteúdo é derivada de funções polinomiais e vamos usar a regra de potência: \frac{d}{dt}t^{n}=n\,t^{n-1}.

Passo 2

Definimos a velocidade como a primeira derivada da posição:
v(t)=x'(t).
Para cada termo, aplicamos a regra de potência:

Passo 3

Derivando termo a termo:
\frac{d}{dt}\bigl(t^{6}\bigr)=6\,t^{5},
\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{1}{16}t^{4}\Bigr)=\frac{1}{16}\cdot4\,t^{3}=\frac{1}{4}\,t^{3},
\frac{d}{dt}\Bigl(-\frac{4}{6}t^{2}\Bigr)=-\frac{4}{6}\cdot2\,t=-\frac{4}{3}\,t,
\frac{d}{dt}(-5)=0.
Logo,
v(t)=6\,t^{5}+\frac{1}{4}\,t^{3}-\frac{4}{3}\,t.

Passo 4

Definimos a aceleração como a derivada da velocidade (segunda derivada de x):
a(t)=v'(t)=x''(t).
De novo, aplicamos a regra de potência a cada termo de v(t).

Passo 5

Derivando v(t) termo a termo:
\frac{d}{dt}\bigl(6\,t^{5}\bigr)=30\,t^{4},
\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{1}{4}t^{3}\Bigr)=\frac{1}{4}\cdot3\,t^{2}=\frac{3}{4}\,t^{2},
\frac{d}{dt}\Bigl(-\tfrac{4}{3}t\Bigr)=-\frac{4}{3},
\frac{d}{dt}(0)=0.
Portanto,
a(t)=30\,t^{4}+\frac{3}{4}\,t^{2}-\frac{4}{3}.

Resposta

v(t)=6\,t^{5}+\tfrac{1}{4}\,t^{3}-\tfrac{4}{3}\,t a(t)=30\,t^{4}+\tfrac{3}{4}\,t^{2}-\tfrac{4}{3}

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