Duas partículas A e B, localizadas nos pontos de cordenadas (0, h) e (2 h, 0) respectivamente, são lançadas num mesmo plano vertical em direções que formam ângulos respectivamente iguais a alpha e Theta (ambos são agudos) com a horizontal (ambas lançadas para a direita). Se as partículas colidem entre si, determine a razão VA / VB entre as velocidades iniciais de lançamento dos projeteis. A gravidade local vale g.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos duas partículas A e B num mesmo plano vertical.
  • A parte de A em (0,h) com velocidade inicial VA num ângulo agudo alpha acima da horizontal.
  • B parte de (2h,0) com velocidade inicial VB num ângulo agudo Theta acima da horizontal.
    Elas se chocam em algum tempo t.
    Conteúdo: lançamento oblíquo (movimento em 2D com gravidade).
    Vamos precisar das equações paramétricas do movimento nos eixos horizontal e vertical e igualar posições em x e y para achar a razão VA/VB.

Passo 2

Em lançamento oblíquo se separa o movimento em dois:
  1. Eixo horizontal ( x): não há aceleração (desprezando ar), então
x(t)=x0+v0x,tcom;v0x=v0costheta
  1. Eixo vertical ( y): há aceleração -g, então
y(t)=y0+v0y,t-tfrac12>^2com;v0y=v0sintheta
Para A ( x0=0,;y0=h,;v0=VA,;theta=alpha):
xA(t)=VAcosalpha;t, yA(t)=h+VAsinalpha;t-tfrac12>^2
Para B ( x0=2h,;y0=0,;v0=VB,;theta=Theta):
xB(t)=2h+VBcosTheta;t, yB(t)=VBsinTheta;t-tfrac12>^2

Passo 3

Como elas colidem, no mesmo instante t vale:
xA(t)=xB(t);Rightarrow;VAcosalpha;t=2h+VBcosTheta;t
Reorganizando:
t,(VAcosalpha - VBcosTheta)=2htag1

Passo 4

E também deve valer em y:
yA(t)=yB(t);Rightarrow;h+VAsinalpha;t-tfrac12>^2 =VBsinTheta;t-tfrac12>^2
Os termos -tfrac12>^2 se cancelam, sobrando:
h+VAsinalpha;t=VBsinTheta;tRightarrow t,(VBsinTheta - VAsinalpha)=htag2

Passo 5

Isolando t em cada uma:
(1) t=dfrac2hVAcosalpha - VBcosTheta.
(2) t=dfrachVBsinTheta - VAsinalpha.

Passo 6

Igualamos as duas expressões de t:
2hVAcosalpha - VBcosTheta =hVBsinTheta - VAsinalpha
Cancelamos h e fazemos o “cross‐multiply”:
2,(VBsinTheta - VAsinalpha) =VAcosalpha - VBcosTheta
Reorganizando termos de VA e VB:
2VBsinTheta +VBcosTheta =VAcosalpha+2VAsinalpha
Rightarrow;VB,(2sinTheta+cosTheta) =VA,(cosalpha+2sinalpha)

Resposta

VAVB =2sinTheta+cosThetacosalpha+2sinalpha
$

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