Verifique se os campos dados a seguir são campos EM genuínos, isto é, se eles satisfazem as equações de Maxwell. Assuma que os campos existem em regiões livre de carga.
Passo 1
O enunciado dá o campo magnético em coordenadas cilíndricas
e pede para verificar se existe um campo elétrico
em região livre de carga e corrente tal que
satisfaçam todas as equações de Maxwell no vácuo. Em particular, em região livre de carga e corrente temos as equações homogêneas
e as não homogêneas sem carga nem corrente
Além disso cada campo deve satisfazer a equação de onda livre
Passo 2
Calculemos primeiro a divergência de
. Em coordenadas cilíndricas, com
,
mas
não depende de
, logo
Isso satisfaz a lei
.
Passo 3
Para ver se
satisfaz a equação de onda livre calculemos
Agora a parte espacial, o Laplaciano vetorial em cilindricas para um campo só na direção
e sem dependência em
nem
é
Se
com
,
portanto
Passo 4
A equação de onda livre exige
Substituindo os resultados dos passos anteriores obtemos termos proporcionais a
e a
. O termo em
não pode ser anulado por nenhum ajuste de
porque a derivada temporal
só gera fator
. Logo não existe escolha de
que torne
Passo 5
Como falha a equação de onda livre, não há como encontrar um
que satisfaça simultaneamente todas as leis de Maxwell em vácuo. Portanto o campo dado não é um campo eletromagnético genuíno em região livre de cargas e correntes.
Resposta
O campo
não satisfaz a equação de onda livre no vácuo e, consequentemente, não pode fazer parte de um par
que resolva as equações de Maxwell sem fontes.