Verifique se os campos dados a seguir são campos EM genuínos, isto é, se eles satisfazem as equações de Maxwell. Assuma que os campos existem em regiões livre de carga.
B=(10 / rho) cos (omega t-2 rho) a phi

Passo 1

O enunciado dá o campo magnético em coordenadas cilíndricas
B(rho,t)=10rhocosl(omega t - 2rhor),aphi
e pede para verificar se existe um campo elétrico E em região livre de carga e corrente tal que E,B satisfaçam todas as equações de Maxwell no vácuo. Em particular, em região livre de carga e corrente temos as equações homogêneas
nablacdotB=0, nablatimesE=-partialBpartial t,
e as não homogêneas sem carga nem corrente
nablacdotE=0, nablatimesB=mu0,varepsilon0,partialEpartial t
Além disso cada campo deve satisfazer a equação de onda livre
nabla^2B-1c^2partial^2Bpartial t^2=0, c=1raizmu0varepsilon0

Passo 2

Calculemos primeiro a divergência de B. Em coordenadas cilíndricas, com B=(0,Bphi(rho,t),0),
nablacdotB =1rhopartialpartialrhol(rho,Brhor) +1rhopartial Bphipartialphi +partial Bzpartial z =1rhopartial Bphipartialphi
mas Bphi não depende de phi, logo
nablacdotB=0
Isso satisfaz a lei nablacdotB=0.

Passo 3

Para ver se B satisfaz a equação de onda livre calculemos
partial^2Bpartial t^2 =partial^2partial t^2l[10rhocos(omega t-2rho)r],aphi =-10,omega^2rhocos(omega t-2rho),aphi
Agora a parte espacial, o Laplaciano vetorial em cilindricas para um campo só na direção aphi e sem dependência em phi nem z é
nabla^2B =gl[1rhopartialpartialrho!l(rhopartial Bphipartialrhor) -Bphirho^2gr]aphi
Se Bphi(rho,t)=tfrac10rhocos(u) com u=omega t-2rho,
nabla^2Bphi =-40rhocos(u) -20rho^2sin(u),
portanto
nabla^2B =l[-40rhocos(omega t-2rho) -20rho^2sin(omega t-2rho)r]aphi

Passo 4

A equação de onda livre exige
nabla^2B -1c^2partial^2Bpartial t^2 =0
Substituindo os resultados dos passos anteriores obtemos termos proporcionais a cos(omega t-2rho) e a sin(omega t-2rho). O termo em sin não pode ser anulado por nenhum ajuste de omega porque a derivada temporal partial^2B/partial t^2 só gera fator cos. Logo não existe escolha de omega que torne
nabla^2B =1c^2partial^2Bpartial t^2

Passo 5

Como falha a equação de onda livre, não há como encontrar um E que satisfaça simultaneamente todas as leis de Maxwell em vácuo. Portanto o campo dado não é um campo eletromagnético genuíno em região livre de cargas e correntes.

Resposta

O campo B=(10/rho)cos(omega t-2rho),aphi não satisfaz a equação de onda livre no vácuo e, consequentemente, não pode fazer parte de um par (E,B) que resolva as equações de Maxwell sem fontes.

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