Verifique se os campos dados a seguir são campos EM genuínos, isto é, se eles satisfazem as equações de Maxwell. Assuma que os campos existem em regiões livre de carga.
A=40 sen(omega t+10 x) a2

Passo 1

O enunciado dá o potencial vetor
A(x,t)=40sinl(omega t+10xr),a2
em região livre de cargas e correntes, e pede para verificar se isso gera um campo eletromagnético válido, ou seja, se satisfaz as equações de Maxwell em vazio.
Conteúdo: teoria do potencial vetorial e equação de onda para A no vácuo.

Passo 2

Em região livre de fontes e adotando o calibre de Lorenz (em particular, V=0 e nablacdotA=0), o potencial vetorial deve satisfazer a equação de onda:
nabla^2A-mu0,varepsilon0,partial^2Apartial t^2=0

Passo 3

Calcular o laplaciano de A. Como A depende só de x na parte espacial e só na direção a2,
nabla^2A =partial^2partial x^2l[40sin(omega t+10x)r],a2 =40cdot(-10)^2sin(omega t+10x),a2 =-100;A

Passo 4

Calcular a derivada segunda em relação ao tempo:
partial^2Apartial t^2 =partial^2partial t^2l[40sin(omega t+10x)r],a2 =40cdot(-omega^2)sin(omega t+10x),a2 =-omega^2,A

Passo 5

Substituir na equação de onda:
nabla^2A-mu0,varepsilon0,partial^2Apartial t^2 =l[-100+mu0varepsilon0,omega^2r]A =0
Para que isso valha para todo x,t, é preciso
mu0,varepsilon0,omega^2=100

Passo 6

Dessa condição segue a relação de dispersão do vácuo omega/k=c. Como aqui o número de onda é k=10, temos
omega=10raizmu0,varepsilon0
Somente nesse caso A satisfaz as equações de Maxwell em região livre de cargas.

Resposta

O potencial vetor dado gera um campo eletromagnético genuíno se, e somente se,
omega=10raizmu0,varepsilon0,
ou seja, quando omega/10=c=1/raizmu0,varepsilon0.

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