Duas partículas, cada uma de massa
e com carga
, estão suspensas de um ponto comum, por cortas de comprimento I. Encontre uma expressão para o ângulo
que cada corda forma com a vertical em função de q, I e da constante eletrostática K (constante eletrostática do meio no qual as cargas se encontram). Considere apenas o caso no qual o ângulo
é muito pequeno,
e
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Duas partículas idênticas, cada uma com massa
e carga . - Ambas estão presas ao mesmo ponto por cordas de comprimento
. Cada corda faz um ângulo com a vertical (situação simétrica). - A constante eletrostática do meio é
(usada na lei de Coulomb). - Considerar o caso de ângulo muito pequeno:
e . Também usarei a aproximação quando necessário. - Força peso atua para baixo com módulo
. A força elétrica de repulsão entre as cargas atua horizontalmente entre as partículas. - Objetivo: encontrar uma expressão para
em função de (e das outras constantes necessárias que aparecem naturalmente: e ) no limite de pequeno ângulo.
Passo 2
Geometria: posição horizontal de cada carga em relação à vertical que passa pelo ponto de suspensão.
- Cada corda, de comprimento
, forma ângulo com a vertical. A componente horizontal do deslocamento de cada massa é
- A distância entre as duas cargas (separação) é duas vezes isso:
Para
pequeno podemos usar depois
, então
.
Passo 3
Força elétrica entre as cargas — lei de Coulomb.
- A magnitude da força de repulsão entre duas cargas puntiformes é dada por
onde
é a separação entre as cargas.
- Substituindo
,
Passo 4
Equilíbrio de forças na posição de repouso (forças sobre uma das partículas).
- Força peso: vertical para baixo, módulo
. - Tensão da corda
: direcionada ao longo da corda, com componentes (vertical para cima) e (horizontal, apontando para o centro). - Força elétrica
: horizontal, apontando para fora (repulsão). - Como a partícula está em equilíbrio, somatório de forças verticais e horizontais é zero:
Dividindo as duas equações obtemos
Para
pequeno usamos
, logo
Passo 5
Substituir
e fazer as aproximações de pequeno ângulo.
- Substituindo
da Passo 3 em :
- Para
usamos , assim . Substituindo:
- Multiplicando ambos os lados por
dá uma equação cúbica simples:
- Resolvendo para
: