Duas partículas, cada uma de massa m e com carga q, estão suspensas de um ponto comum, por cortas de comprimento I. Encontre uma expressão para o ângulo \theta que cada corda forma com a vertical em função de q, I e da constante eletrostática K (constante eletrostática do meio no qual as cargas se encontram). Considere apenas o caso no qual o ângulo \theta é muito pequeno, \theta \ll 1 e \operatorname{tg} \theta \cong \theta.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Duas partículas idênticas, cada uma com massa m e carga q.
  • Ambas estão presas ao mesmo ponto por cordas de comprimento I. Cada corda faz um ângulo \theta com a vertical (situação simétrica).
  • A constante eletrostática do meio é K (usada na lei de Coulomb).
  • Considerar o caso de ângulo muito pequeno: \theta \ll 1 e \tan\theta \approx \theta. Também usarei a aproximação \sin\theta\approx\theta quando necessário.
  • Força peso atua para baixo com módulo mg. A força elétrica de repulsão entre as cargas atua horizontalmente entre as partículas.
  • Objetivo: encontrar uma expressão para \theta em função de q,\\ I,\\ K (e das outras constantes necessárias que aparecem naturalmente: m e g) no limite de pequeno ângulo.

Passo 2

Geometria: posição horizontal de cada carga em relação à vertical que passa pelo ponto de suspensão.
  • Cada corda, de comprimento I, forma ângulo \theta com a vertical. A componente horizontal do deslocamento de cada massa é
x = I\sin\theta.
  • A distância entre as duas cargas (separação) é duas vezes isso:
d = 2I\sin\theta.
Para \theta pequeno podemos usar depois \sin\theta\approx\theta, então d\approx 2I\theta.

Passo 3

Força elétrica entre as cargas — lei de Coulomb.
  • A magnitude da força de repulsão entre duas cargas puntiformes é dada por
F_e = K\,\frac{q^2}{d^2},
onde d é a separação entre as cargas.
  • Substituindo d=2I\sin\theta,
F_e = K\,\frac{q^2}{\bigl(2I\sin\theta\bigr)^2} = K\,\frac{q^2}{4I^2\sin^2\theta}.

Passo 4

Equilíbrio de forças na posição de repouso (forças sobre uma das partículas).
  • Força peso: vertical para baixo, módulo mg.
  • Tensão da corda T: direcionada ao longo da corda, com componentes T\cos\theta (vertical para cima) e T\sin\theta (horizontal, apontando para o centro).
  • Força elétrica F_e: horizontal, apontando para fora (repulsão).
  • Como a partícula está em equilíbrio, somatório de forças verticais e horizontais é zero:
T\cos\theta = mg, \qquad T\sin\theta = F_e.
Dividindo as duas equações obtemos
\tan\theta = \frac{F_e}{mg}.
Para \theta pequeno usamos \tan\theta\approx\theta, logo
\theta \approx \frac{F_e}{mg}.

Passo 5

Substituir F_e e fazer as aproximações de pequeno ângulo.
  • Substituindo F_e da Passo 3 em \theta \approx F_e/(mg):
\theta \approx \frac{1}{mg}\,K\,\frac{q^2}{4I^2\sin^2\theta} = \frac{Kq^2}{4m g I^2}\cdot\frac{1}{\sin^2\theta}.
  • Para \theta\ll1 usamos \sin\theta\approx\theta, assim \sin^2\theta\approx\theta^2. Substituindo:
\theta \approx \frac{Kq^2}{4m g I^2}\cdot\frac{1}{\theta^2}.
  • Multiplicando ambos os lados por \theta^2 dá uma equação cúbica simples:
\theta^3 \approx \frac{Kq^2}{4m g I^2}.
  • Resolvendo para \theta:
\theta \approx \left(\frac{Kq^2}{4m g I^2}\right)^{1/3}.

Resposta

\theta \approx \left(\frac{Kq^2}{4m g I^2}\right)^{1/3}

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