Um disco, de raio R=0,200 \mathrm{~m}, girando com velocidade angular \omega_{0}=33,0 \mathrm{rpm}, pára em t_{2}=15,0 \mathrm{~s}. Supondo que a rotacão seja uniformemente desacelerada, calcule:
(a) a aceleração angular, \alpha,
(b) a velocidade angular, \omega_{1}, no instante f_{i}=7,50 \mathrm{~s};
(c) a aceleração total, a, de um ponto da periferia do disco, no mesmo instante t_{1}. \_\_\_\_

Passo 1

O enunciado dá um disco de raio R=0,200\\ \mathrm{m} que gira inicialmente com velocidade angular \omega_0=33{,}0\\ \mathrm{rpm} e pára em t_2=15{,}0\\ \mathrm{s}. A rotação é uniformemente desacelerada (ou seja, aceleração angular constante). Pede-se:
(a) a aceleração angular \alpha;
(b) a velocidade angular \omega_1 no instante t_1=7{,}50\\ \mathrm{s};
(c) a aceleração total a de um ponto da periferia no mesmo instante t_1.
Informações relevantes (extraídas do enunciado):
  • R=0,200\\ \mathrm{m}.
  • \omega_0=33{,}0\\ \mathrm{rpm}.
  • t_2=15{,}0\\ \mathrm{s} (tempo em que \omega chega a zero).
  • t_1=7{,}50\\ \mathrm{s} (instante onde queremos \omega_1 e a aceleração).

Passo 2

Primeiro passo técnico: converter \omega_0 de rotações por minuto para radianos por segundo. Lembrete prático: uma rotação completa corresponde a 2\pi radianos e 1\\ \mathrm{min}=60\\ \mathrm{s}. Portanto a conversão é
\omega_0\\ (\text{rad/s}) = \omega_0\\ (\text{rpm})\times\frac{2\pi}{60}.
Aplicando os números:
\omega_0 = 33{,}0\cdot\frac{2\pi}{60} = \frac{33{,}0}{60}\cdot 2\pi = 0{,}55\cdot 2\pi = 1{,}1\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Em valor numérico:
\omega_0 \approx 3{,}4557519189\\ \mathrm{rad/s}\approx 3{,}456\\ \mathrm{rad/s}.
Comentário didático: sempre converta rpm para rad/s antes de usar equações de cinemática rotacional; as fórmulas convencionais usam rad/s.

Passo 3

Com aceleração angular constante vale a equação cinemática rotacional
\omega(t)=\omega_0+\alpha t.
Sabemos que o disco pára em t_2, ou seja \omega(t_2)=0. Então
0=\omega_0+\alpha t_2 \quad\Rightarrow\quad \alpha=-\frac{\omega_0}{t_2}.
Substituindo \omega_0 (em rad/s) e t_2:
\alpha = -\frac{3{,}4557519189}{15{,}0}\\ \mathrm{rad/s^2}\approx -0{,}2303834613\\ \mathrm{rad/s^2}.
Arredondando de forma prática para prova:
\alpha \approx -0{,}230\\ \mathrm{rad/s^2}.
Explicação adicional: o sinal negativo indica desaceleração (a velocidade angular diminui).

Passo 4

Agora calculamos \omega_1=\omega(t_1) usando a mesma fórmula:
\omega_1=\omega_0+\alpha t_1.
Substituindo valores com precisão:
\omega_1 = 3{,}4557519189 + (-0{,}2303834613)\cdot 7{,}50.
Calcule o produto:
\alpha t_1 = -0{,}2303834613\times 7{,}50 \approx -1{,}7278759598.
Logo
\omega_1 \approx 3{,}4557519189 - 1{,}7278759598 = 1{,}7278759591\\ \mathrm{rad/s}.
Arredondando para uso prático:
\omega_1 \approx 1{,}728\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Para achar a aceleração total de um ponto na periferia, lembrar que a aceleração tem duas contribuições (quando a velocidade angular é não-nula):
  • componente tangencial (devido à variação da velocidade angular): a_t = \alpha R.
  • componente centrípeta (devido à velocidade angular presente): a_c = \omega^2 R.
Essas componentes são perpendiculares: a_t é tangente ao círculo (direção do movimento), a_c aponta radialmente para o centro. A magnitude da aceleração total é
a=\sqrt{a_t^2 + a_c^2}.

Passo 6

Calcular a_t e a_c numericamente no instante t_1.
Primeiro a_t:
a_t = \alpha R = (-0{,}2303834613)\times 0{,}200\\ \mathrm{m} \approx -0{,}0460766923\\ \mathrm{m/s^2}.
Interpretação: o sinal negativo indica que a componente tangencial está no sentido oposto ao movimento (desacelerando).
Agora a_c:
a_c = \omega_1^2 R = (1{,}7278759591)^2\times 0{,}200.
Calcule o quadrado:
\omega_1^2 \approx 1{,}7278759591^2 \approx 2{,}9851290416.
Então
a_c \approx 2{,}9851290416\times 0{,}200 = 0{,}5970258083\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 7

Calcule a magnitude total:
a=\sqrt{a_t^2 + a_c^2} = \sqrt{(-0{,}0460766923)^2 + (0{,}5970258083)^2}.
Avaliar:
a_t^2 \approx 0{,}0021230649,\qquad a_c^2 \approx 0{,}3564440830,
a \approx \sqrt{0{,}0021230649 + 0{,}3564440830} = \sqrt{0{,}3585671479} \approx 0{,}598805.
Arredondando de forma prática:
a \approx 0{,}599\\ \mathrm{m/s^2}.
Comentário final didático: nota-se que a componente centrípeta domina a aceleração total (muito maior que a tangencial), por isso a fica praticamente igual a a_c. Em prova, apresente as componentes e a magnitude; indique o sentido de a_t (oposto ao movimento) se pedirem direção.

Resposta

\alpha = -0{,}230\\ \mathrm{rad/s^2}
\omega_1 = 1{,}728\\ \mathrm{rad/s}
a = 0{,}599\\ \mathrm{m/s^2}

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