Duas partículas de cargas q_{1} e q_{2} estão dispostas em um eixo x, sendo \ell a distância entre elas. A partícula q_{1} está na origem do sistema de coordenadas, enquanto q_{2} está no ponto x_{2}=\ell, à direita de q_{1}.
(1.0): Qual a força que sofre uma particula q_{3} colocada em um ponto x à esquerda de q_{1} ?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado):
  • Duas partículas fixas no eixo x: q_{1} em x_{1}=0 (origem) e q_{2} em x_{2}=\ell (à direita de q_{1}).
  • Uma terceira partícula q_{3} é colocada em um ponto x à esquerda de q_{1}. Portanto x<0.
  • A pergunta: qual é a força que sofre a partícula q_{3} devido às outras duas (força resultante sobre q_{3})?

Passo 2

Lei de Coulomb (forma vetorial) — a ferramenta que vamos usar.
  • A força elétrica que uma carga q_a exerce sobre outra carga q_b é dada por
\vec F_{a\to b}=k\,\dfrac{q_a q_b}{|\vec r_b-\vec r_a|^3}\,(\vec r_b-\vec r_a),
onde:
  • k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} (constante eletrostática),
  • \vec r_a e \vec r_b são os vetores posição das cargas a e b,
  • o fator (\vec r_b-\vec r_a)/|\vec r_b-\vec r_a| é o versor (direção) do vetor que vai de a para b.
  • Essa forma já inclui o sinal: se o produto q_a q_b for positivo a força é repulsiva (aponta para fora de a); se negativo a força é atrativa (aponta para a).

Passo 3

Posições e distâncias no problema.
  • Em notação unidimensional ao longo de \hat e_x: \vec r_1=0\,\hat e_x, \vec r_2=\ell\,\hat e_x, \vec r_3=x\,\hat e_x com x<0.
  • Distância entre q_1 e q_3: |\vec r_3-\vec r_1|=|x-0|=|x|=-x (já que x<0).
  • Distância entre q_2 e q_3: |\vec r_3-\vec r_2|=|x-\ell|=\ell-x (positiva porque \ell>0 e x<0).

Passo 4

Força de q_{1} sobre q_{3}.
  • Usando a fórmula vetorial:
\vec F_{1\to 3}=k\,\dfrac{q_1 q_3}{|\vec r_3-\vec r_1|^3}\,(\vec r_3-\vec r_1).
  • Substituindo \vec r_3-\vec r_1=(x-0)\hat e_x = x\hat e_x e |\vec r_3-\vec r_1|=|x|, obtemos
\vec F_{1\to 3}=k\,\dfrac{q_1 q_3}{|x|^3}\,x\,\hat e_x.
  • Como x<0 e |x|=-x, temos x/|x|^3 = -1/x^2. Portanto
\vec F_{1\to 3}=-k\,\dfrac{q_1 q_3}{x^2}\,\hat e_x.
(Essa expressão já dá a direção correta: o sinal do produto q_1 q_3 determina se a quantidade dentro do produto é positiva ou negativa; o fator global negativo aparece porque geometricamente q_1 está à direita de q_3.)

Passo 5

Força de q_{2} sobre q_{3}.
  • Semelhantemente,
\vec F_{2\to 3}=k\,\dfrac{q_2 q_3}{|\vec r_3-\vec r_2|^3}\,(\vec r_3-\vec r_2).
  • Aqui \vec r_3-\vec r_2=(x-\ell)\hat e_x e |x-\ell|=\ell-x. Então
\vec F_{2\to 3}=k\,\dfrac{q_2 q_3}{(\ell-x)^3}\,(x-\ell)\,\hat e_x.
  • Como x-\ell=-(\ell-x), obtemos (x-\ell)/(\ell-x)^3 = -1/(\ell-x)^2. Logo
\vec F_{2\to 3}=-k\,\dfrac{q_2 q_3}{(\ell-x)^2}\,\hat e_x.

Passo 6

Força resultante sobre q_{3} (soma vetorial das duas contribuições).
  • Somando \vec F_{1\to 3} e \vec F_{2\to 3}:
\vec F=\vec F_{1\to 3}+\vec F_{2\to 3} =-k\left(\dfrac{q_1 q_3}{x^2}+\dfrac{q_2 q_3}{(\ell-x)^2}\right)\hat e_x.
  • Fatorando q_3:
\vec F=-k\,q_3\!\left(\dfrac{q_1}{x^2}+\dfrac{q_2}{(\ell-x)^2}\right)\hat e_x.
  • Interpretação prática (para te orientar na prova): o sinal global negativo significa que, se o parêntese for positivo, a força aponta para a esquerda (direção -\hat e_x). O sinal efetivo da força depende dos sinais de q_1,q_2,q_3 juntos: a fórmula já incorpora atração/repulsão porque usa os produtos q_1 q_3 e q_2 q_3.

Passo 7

Exemplos rápidos para fixar a intuição:
  • Se q_1>0,\;q_2>0,\;q_3>0 então ambos os termos \dfrac{q_1 q_3}{x^2} e \dfrac{q_2 q_3}{(\ell-x)^2} são positivos; a força resultante é para a esquerda (repulsão por ambas).
  • Se q_1<0,\;q_2<0,\;q_3>0 então ambos os termos são negativos; a soma dentro do parêntese é negativa e com o sinal externo menos a força aponta para a direita (atração por ambas).
  • Se os sinais forem mistos, pode haver competição entre as duas forças; a fórmula permite avaliar rapidamente quem “ganha”.

Resposta

\vec F=-k\left(\dfrac{q_1 q_3}{x^2}+\dfrac{q_2 q_3}{(\ell-x)^2}\right)\hat e_x
ou equivalentemente
\vec F=-k\,q_3\!\left(\dfrac{q_1}{x^2}+\dfrac{q_2}{(\ell-x)^2}\right)\hat e_x.

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