Duas partículas de cargas q_{1} e q_{2} estão dispostas em um eixo x, sendo \ell a distância entre elas. A partícula q_{1} está na origem do sistema de coordenadas, enquanto q_{2} está no ponto x_{2}=\ell, à direita de q_{1}.
(1.0): Qual a força que sofre uma partícula q_{3} colocada em um ponto x à direita de q_{2} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo isto foi pego do enunciado):
  • Duas partículas com cargas \,q_{1}\, e \,q_{2}\, estão sobre o eixo x.
  • A partícula \,q_{1}\, está em x_{1}=0.
  • A partícula \,q_{2}\, está em x_{2}=\ell, à direita de \,q_{1}\,.
  • Coloca-se uma terceira partícula \,q_{3}\, em um ponto x tal que x>\ell (ou seja, à direita de \,q_{2}\,).
O que o problema pede:
  • Determinar a força que atua sobre a partícula \,q_{3}\, quando ela está em x (expressão da força, incluindo direção e dependência das cargas e das distâncias).

Passo 2

Relembrando a lei que vamos usar (a versão vetorial da lei de Coulomb) — aqui uma mini-aula:
  • A força elétrica entre duas cargas puntiformes q e Q separadas por uma distância r é dada por
\mathbf{F} = k\,\frac{qQ}{r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}},
onde:
  • \,k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\, é a constante eletrostática no vácuo;
  • r é a distância entre as cargas;
  • \hat{\mathbf{r}} é o vetor unitário que aponta da carga que gera o campo para a carga sobre a qual a força age (ou seja, direção da força se qQ>0 é de repulsão e se qQ<0 é de atração);
  • o produto qQ determina o sentido: qQ>0 dá repulsão (direção de \hat{\mathbf{r}} ), qQ<0 dá atração (sentido oposto a \hat{\mathbf{r}} ).
Também é fundamental o princípio da superposição:
  • A força total sobre \,q_{3}\, é a soma vetorial das forças exercidas por cada carga individualmente (ou seja, pela \,q_{1}\, e pela \,q_{2}\,).

Passo 3

Calcular a força de \,q_{1}\, sobre \,q_{3}\,:
  • A distância entre \,q_{1}\, (em x=0) e \,q_{3}\, (em x) é \,r_{13}=x-0=x, com x>0.
  • O vetor unitário do ponto de \,q_{1}\, para \,q_{3}\, é \hat{\mathbf{x}} (vetor unitário no sentido positivo do eixo x), porque q_{3} está à direita de q_{1}.
  • Pela lei de Coulomb (módulo e direção),
\mathbf{F}_{13}=k\,\frac{q_{1}q_{3}}{x^{2}}\,\hat{\mathbf{x}}.
Explicação do sinal: se q_{1}q_{3}>0 a força é dirigida para a direita (repulsão); se q_{1}q_{3}<0 a força é para a esquerda (atração) — isso fica claro pois o produto q_{1}q_{3} carrega o sinal.

Passo 4

Calcular a força de \,q_{2}\, sobre \,q_{3}\,:
  • A distância entre \,q_{2}\, (em x=\ell) e \,q_{3}\, (em x) é \,r_{23}=x-\ell (positivo porque x>\ell).
  • O vetor unitário do ponto de \,q_{2}\, para \,q_{3}\, também é \hat{\mathbf{x}}.
  • Pela lei de Coulomb,
\mathbf{F}_{23}=k\,\frac{q_{2}q_{3}}{(x-\ell)^{2}}\,\hat{\mathbf{x}}.
Novamente, o sinal do produto q_{2}q_{3} decide se a força apontará para a direita (repulsão) ou para a esquerda (atração).

Passo 5

Somar vetorialmente as contribuições (princípio da superposição):
  • As duas forças apontam ao longo do eixo x, então somam-se como escalares ao longo de \hat{\mathbf{x}}.
  • A força total sobre \,q_{3}\, é
\mathbf{F}(x)=\mathbf{F}_{13}+\mathbf{F}_{23} = k\left(\frac{q_{1}q_{3}}{x^{2}}+\frac{q_{2}q_{3}}{(x-\ell)^{2}}\right)\hat{\mathbf{x}}.
  • Fatorando \,q_{3}\,,
\mathbf{F}(x)=k\,q_{3}\left(\frac{q_{1}}{x^{2}}+\frac{q_{2}}{(x-\ell)^{2}}\right)\hat{\mathbf{x}}.

Passo 6

Interpretação prática e exemplos rápidos (mini-aula aplicada):
  • A convenção adotada aqui é que a componente positiva da força (isto é, o sinal positivo do escalar entre parênteses) corresponde a uma força apontando para a direita; sinal negativo corresponde a uma força apontando para a esquerda.
  • Exemplos:
    • Se todas as cargas são positivas ( q_{1},q_{2},q_{3}>0), então ambos os termos dentro do parêntese são positivos e a força total empurra \,q_{3}\, para a direita (soma das repulsões).
    • Se, por exemplo, q_{1}<0, q_{2}>0 e q_{3}>0, o termo com q_{1} é negativo (atrai \,q_{3}\, para a esquerda) enquanto o termo com q_{2} é positivo (repulsão para a direita); a direção final será dada pelo sinal da soma \dfrac{q_{1}}{x^{2}}+\dfrac{q_{2}}{(x-\ell)^{2}}.
  • Limites verificados:
    • Se x fica muito grande, ambos os termos vão para zero e a força tende a zero (esperado).
    • Se q_{3}=0, a força é zero (claro).

Resposta

\mathbf{F}(x)=k\,q_{3}\left(\frac{q_{1}}{x^{2}}+\frac{q_{2}}{(x-\ell)^{2}}\right)\hat{\mathbf{x}}

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