Duas particulas carregadas encontram-se ao longo do eixo OX . A partícula de carga q1=+8 q está na origem e a outra de carga q2=-2 q está em X=L. Onde deve ser colocada no eixo X uma particula de carga positiva de maneira que a força resultante sobre ela seja nula?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas partículas carregadas que estão alinhadas no eixo OX. A primeira partícula tem uma carga de $ q_{1} = +8q $ e está na origem (ponto $ X = 0 $). A segunda partícula tem uma carga de $ q_{2} = -2q $ e está no ponto $ X = L $. A pergunta é: onde colocar uma terceira partícula de carga positiva no eixo X para que a força total sobre ela seja zero?
Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Coulomb, que descreve a força entre duas cargas elétricas. Vamos também precisar entender como as forças se equilibram nesse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Coulomb, que nos diz que a força entre duas cargas é dada por:
F = k |q1 cdot q2|r^2
onde:
  • $ F $ é a força entre as cargas,
  • $ k $ é a constante de Coulomb ($ k \approx 8,99 \times 10^9 , N·m²/C² $),
  • $ q_1 $ e $ q_2 $ são as magnitudes das cargas,
  • $ r $ é a distância entre as cargas.
Como queremos que a força resultante sobre a terceira partícula seja nula, isso significa que a força causada pela carga $ q_{1} $ e a força causada pela carga $ q_{2} $ devem se cancelar.

Passo 3

Vamos chamar a posição onde devemos colocar a carga positiva de $ Q $ como $ x $, onde $ x $ está no eixo X. Precisamos determinar esse $ x $.
Existem duas possibilidades para $ x $:
  1. Entre as cargas $ q_{1} $ e $ q_{2} $,
  2. Fora desse intervalo, ou seja, à esquerda de $ q_{1} $ ou à direita de $ q_{2} $.
Vamos analisar onde o equilíbrio pode ocorrer.

Passo 4

Primeiro, percebemos que $ q_{1} $ é positiva e $ q_{2} $ é negativa. Como $ Q $ também é positiva, a força exercida por $ q_{1} $ sobre $ Q $ será de repulsão (empurrando $ Q $ para longe de $ q_{1} $), enquanto a força exercida por $ q_{2} $ sobre $ Q $ será de atração (puxando $ Q $ em direção a $ q_{2} $).
Para que essas forças se equilibrem, $ Q $ precisa estar posicionado de maneira que a força de repulsão de $ q_{1} $ seja igual em magnitude à força de atração de $ q_{2} $.

Passo 5

Vamos supor que $ Q $ está a uma distância $ x $ de $ q_{1} $. Então, a distância entre $ Q $ e $ q_{2} $ será $ L - x $.
Aplicando a Lei de Coulomb para ambas as forças:
Força devido a $ q_{1} $:
Q
Força devido a $ q_{2} $:
x
Como queremos que $ F_{1} = F_{2} $:
q1
Podemos simplificar $ k $, $ q $ e $ Q $ de ambos os lados:
Q

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar $ x $:
x
Multiplicando ambos os lados por $ x^2 (L - x)^2 $ para eliminar os denominadores:
8x^2 = 2(L - x)^2
Dividindo ambos os lados por 2:
x^2 (L - x)^2
Expandindo $ (L - x)^2 $:
8 (L - x)^2 = 2 x^2
Distribuindo o 4:
4 (L - x)^2 = x^2
Subtraindo $ x^2 $ de ambos os lados:
(L - x)^2

Passo 7

Essa é uma equação quadrática na forma $ ax^2 + bx + c = 0 $. Vamos resolver para $ x $ usando a fórmula de Bhaskara:
ax^2 + bx + c = 0
Onde:
  • $ a = 3 $,
  • $ b = -8L $,
  • $ c = 4L^2 $.
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
x
Então:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Isso nos dá duas soluções:
  1. $ x = \frac{8L + 4L}{6} = \frac{12L}{6} = 2L $
  2. $ x = \frac{8L - 4L}{6} = \frac{4L}{6} = \frac{2L}{3} $

Passo 8

Agora, vamos analisar qual dessas soluções faz sentido no contexto do problema.
  1. $ x = 2L $: Isso está à direita de $ q_{2} $, no ponto $ X = 2L $.
  2. $ x = \frac{2L}{3} $: Isso está entre $ q_{1} $ e $ q_{2} $, já que $ \frac{2L}{3} < L $.
Vamos verificar qual posição realmente resulta em força nula.

Passo 9

Considerando $ x = 2L $:
  • Distância de $ q_{1} $ para $ Q $: $ 2L $
  • Distância de $ q_{2} $ para $ Q $: $ 2L - L = L $
Calculando as forças:
x = 2L
q1
As magnitudes são iguais, mas as direções são opostas (repulsão de $ q_{1} $ e atração de $ q_{2} $), então se o $ Q $ estiver em $ 2L $, as forças se cancelam.
Já para $ x = \frac{2L}{3} $, as forças não se cancelam da mesma maneira devido às distâncias diferentes.

Resposta

O campo elétrico sobre a partícula $ Q $ será nulo quando ela for colocada no ponto $ X = 2L $ no eixo X.

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