Q5: Duas partículas se deslocam ao longo do eixo x do referencial inercial O com velocidades (relativas ao O ) de 0,8 c e 0,9 c. Num determinado instante (no referencial O ) a partícula mais rápida se encontra a uma distância 1 m da outra. Quantos segundos passam antes da colisão?
Uma vara de comprimento próprio 10 cm se move longitudinalmente ao longo do eixo x de O com velocidade c / 2. Uma partícula de deslocando no sentido oposto, com a mesma rapidez, leva quanto tempo (medido em O) para passar a vara?

Passo 1

O enunciado tem dois problemas de cinemática relativística em O:
  1. Duas partículas movem-se ao longo de x com velocidades v_1 = 0,8\,c e v_2 = 0,9\,c. Num dado instante em O, a mais rápida está a 1 m da outra. Pergunta-se quanto tempo (em O) até a colisão.
  2. Uma barra de comprimento próprio L_0 = 10 cm desloca-se com v = +\tfrac{c}{2} ao longo de x. Uma partícula vem em sentido oposto com v = -\tfrac{c}{2}. Queremos o tempo (em O) para a partícula passar totalmente a barra.
    Conteúdos usados: conceito de velocidade de aproximação em O e contração de comprimento.

Passo 2

Para a colisão, em O a velocidade de aproximação (fechamento) é
\Delta v \;=\; v_2 - v_1 \;=\; 0{,}9\,c \;-\; 0{,}8\,c \;=\; 0{,}1\,c.
A separação inicial é \Delta x=1 m, logo o tempo até o encontro é
t_1 \;=\; \frac{\Delta x}{\Delta v} \;=\; \frac{1\;\mathrm{m}}{0{,}1\,c} \;=\; \frac{1}{0{,}1 \times 3\times10^{8}\,\mathrm{m/s}} \;=\; 3{,}3\times10^{-8}\,\mathrm{s}.

Passo 3

Para a barra, em O ela tem comprimento contraído
\gamma \;=\;\frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} \;=\; \frac{1}{\sqrt{1 - (1/2)^2}} \;=\; \frac{2}{\sqrt{3}},
L \;=\;\frac{L_0}{\gamma} \;=\; \frac{0{,}10\;\mathrm{m}}{2/\sqrt{3}} \;=\; \frac{0{,}10\,\sqrt{3}}{2}\;\mathrm{m} \;\approx\; 0{,}0866\;\mathrm{m}.

Passo 4

A velocidade de fechamento entre partícula e barra em O é
v_{\text{fech}} \;=\; \bigl|\tfrac{c}{2}\bigr| + \bigl|\tfrac{c}{2}\bigr| \;=\; c.
O tempo para a partícula percorrer o comprimento L da barra em O é
t_2 \;=\; \frac{L}{v_{\text{fech}}} \;=\; \frac{0{,}0866\;\mathrm{m}}{3\times10^{8}\;\mathrm{m/s}} \;\approx\; 2{,}9\times10^{-10}\,\mathrm{s}.

Resposta

O tempo até a colisão é aproximadamente 3{,}3\times10^{-8} s.
O tempo para a partícula passar a barra é aproximadamente 2{,}9\times10^{-10} s.

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