Q3: Qual a velocidade relativa de referenciais com \gamma=2 ?
Uma vara, de comprimento próprio 1 m , se desloca com \gamma=2 em relação ao referencial O . Um observador em O mede o comprimento da vara como 1 m . Como isso é possível?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
1. Determinar a velocidade v relativa entre dois referenciais de modo que
\gamma = 2,
onde
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} \quad\text{e}\quad \beta = \frac{v}{c}.
2. Explicar por que, sendo o comprimento próprio da vara
L_0 = 1\;\text{m}
e movendo-se ela com \gamma=2 em relação a O, um observador em O pode ainda medir esse comprimento como 1\;\text{m}.

Passo 2

Para achar \beta, escrevemos
\gamma = 2 = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} \;\Longrightarrow\; \sqrt{1 - \beta^2} = \frac{1}{2} \;\Longrightarrow\; 1 - \beta^2 = \frac14 \;\Longrightarrow\; \beta^2 = \frac34 \;\Longrightarrow\; \beta = \frac{\sqrt{3}}{2}.
Logo
v = \beta\,c = \frac{\sqrt{3}}{2}\,c \approx 0{,}866\,c.

Passo 3

Em geral, o comprimento medido de um objeto em movimento paralelo à sua extensão sofre contração:
L = \frac{L_0}{\gamma} = \frac{1\;\text{m}}{2} = 0{,}5\;\text{m},
desde que as posições das duas extremidades sejam registradas simultaneamente no referencial do observador.

Passo 4

Porém o observador em O mediu L=1\;\text{m}. Isso só é possível se ele NÃO registrou as duas extremidades num mesmo instante em O. Graças à relatividade da simultaneidade, marcar a traseira num tempo t_1 e a dianteira num tempo t_2\neq t_1 acrescenta ao comprimento contraído o trajeto que a vara percorreu em \Delta t=t_2-t_1. Escolhendo adequadamente \Delta t, obtém-se exatamente
L = L_0 = 1\;\text{m}.

Resposta

v = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,c\approx0{,}866\,c.
A medição dá 1\;\text{m} porque o observador não marcou as duas extremidades simultaneamente no seu referencial, e assim “compensa” a contração de Lorentz pela relatividade da simultaneidade.

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