Q4: Sejam O e O’ referenciais inerciais na configuração padrão. O’ tem uma velocidade relativa a O de 12 c / 13.
Escreva a matriz (4x4) da transformação de Lorentz de O para O’.
Escreva a matriz (4x4) da transformação de Lorentz de \mathrm{O}^{\prime} para O .

Passo 1

O enunciado pede as matrizes 4\times4 da transformação de Lorentz num boost ao longo do eixo x entre dois referenciais inerciais O e O' em configuração padrão. O ' se move em relação a O com velocidade v = \tfrac{12}{13}c. Vamos usar a convenção x^0 = ct e construir a matriz \Lambda^\mu{}_\nu tal que
x'^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu\,x^\nu.

Passo 2

Definimos
\beta = \frac{v}{c} = \frac{12}{13}, \qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-\bigl(\tfrac{12}{13}\bigr)^2}} = \frac{1}{\sqrt{\tfrac{25}{169}}} = \frac{13}{5}.

Passo 3

A transformação de O para O' (boost com \beta>0) tem a forma padrão
\Lambda(O\to O') = \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma\beta & 0 & 0\\\\ -\gamma\beta & \gamma & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Substituindo \gamma=\tfrac{13}{5} e \gamma\beta=\tfrac{12}{5}, obtemos
\Lambda(O\to O') = \begin{pmatrix} \frac{13}{5} & -\frac{12}{5} & 0 & 0\\[6pt] -\frac{12}{5} & \frac{13}{5} & 0 & 0\\[6pt] 0 & 0 & 1 & 0\\[3pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

A transformação inversa, de O' para O, é dada por \beta\to -\beta. Logo
\Lambda(O'\to O) = \begin{pmatrix} \gamma & +\gamma\beta & 0 & 0\\\\ +\gamma\beta & \gamma & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{13}{5} & \frac{12}{5} & 0 & 0\\[6pt] \frac{12}{5} & \frac{13}{5} & 0 & 0\\[6pt] 0 & 0 & 1 & 0\\[3pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Resposta

Transformação de O para O':
\Lambda(O\to O') = \begin{pmatrix} \frac{13}{5} & -\frac{12}{5} & 0 & 0\\\\ -\frac{12}{5} & \frac{13}{5} & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Transformação de O' para O:
\Lambda(O'\to O) = \begin{pmatrix} \frac{13}{5} & \frac{12}{5} & 0 & 0\\\ \frac{12}{5} & \frac{13}{5} & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados