Duas partículas encontram-se dispostas sobre uma régua paralela ao eixo x. A partícula 1, de massa m_{1}=2,0 \mathrm{~kg}, está posicionada em x_{1}=1,0 \mathrm{~m}. A partícula 2 , de massa m_{2}=3,0 \mathrm{~kg}, está localizada em x_{2}=6,0 \mathrm{~m}. Qual é a coordenada x_{\mathrm{cm}} do centro de massa deste sistema?
a) 2,0 \mathrm{~m}
b) 3,0 \mathrm{~m}
c) 4,0 \mathrm{~m}
d) 4,5 \mathrm{~m}
e) 5,0 \mathrm{~m}

Passo 1

O que o enunciado dá:
  • Massa da partícula 1: m_{1}=2,0\\ \mathrm{kg}.
  • Posição da partícula 1: x_{1}=1,0\\ \mathrm{m}.
  • Massa da partícula 2: m_{2}=3,0\\ \mathrm{kg}.
  • Posição da partícula 2: x_{2}=6,0\\ \mathrm{m}.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a coordenada x_{\mathrm{cm}} do centro de massa do sistema (escolher a alternativa correta entre as fornecidas).

Passo 2

Fórmula que vamos usar (centro de massa de partículas discretas):
x_{\mathrm{cm}}=\frac{\sum_{i} m_{i} x_{i}}{\sum_{i} m_{i}}.
Explicando a fórmula de forma simples:
  • m_{i} é a massa da i-ésima partícula.
  • x_{i} é a posição (coordenada x) da i-ésima partícula.
  • No numerador soma-se cada produto m_{i}x_{i} (isso dá uma “posição ponderada” pela massa).
  • No denominador soma-se todas as massas (normaliza para uma média ponderada).
    Em palavras: o centro de massa é uma média ponderada das posições, ponderada pelas massas — posições dos objetos mais pesados influenciam mais.

Passo 3

Calcular os termos do numerador \sum m_{i}x_{i} usando os dados:
  • Para a partícula 1: m_{1}x_{1}=2,0\\ \mathrm{kg}\times 1,0\\ \mathrm{m}=2,0\\ \mathrm{kg\cdot m}.
  • Para a partícula 2: m_{2}x_{2}=3,0\\ \mathrm{kg}\times 6,0\\ \mathrm{m}=18,0\\ \mathrm{kg\cdot m}.

Passo 4

Somar os termos do numerador e o denominador:
\sum_{i} m_{i}x_{i}=2,0+18,0=20,0\\ \mathrm{kg\cdot m}, \qquad \sum_{i} m_{i}=2,0+3,0=5,0\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Dividir para obter o centro de massa:
x_{\mathrm{cm}}=\frac{20,0\\ \mathrm{kg\cdot m}}{5,0\\ \mathrm{kg}}=\frac{20,0}{5,0}\\ \mathrm{m}=4,0\\ \mathrm{m}.
Interpretação rápida: x_{\mathrm{cm}}=4,0\\ \mathrm{m} fica entre 1,0\\ \mathrm{m} e 6,0\\ \mathrm{m}, mais próximo de 6,0\\ \mathrm{m} porque a segunda partícula é mais pesada.

Passo 6

Checagem alternativa (média ponderada por frações das massas):
  • Fração da massa 1: \dfrac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}=\dfrac{2,0}{5,0}=0,4.
  • Fração da massa 2: \dfrac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}=\dfrac{3,0}{5,0}=0,6.
    Aplicando: x_{\mathrm{cm}}=0,4\cdot 1,0 + 0,6\cdot 6,0 =0,4+3,6=4,0\\ \mathrm{m}. Mesma resposta — bom sinal.

Resposta

c) 4,0\\ \mathrm{m}

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