( 6 pontos) Dois sistemas massa-mola oscilantes amortecidos têm as mesmas constantes de mola e de amortecimento. No entanto, a massa m_{A}, do sistema A é quatro vezes a massa m_{B}, do sistema B . Como se comparam os seus tempos de decaimento?
(2) \tau_{A}=4 \tau_{B}
a) \tau_{A}=\tau_{B} / 4
b) \tau_{A}=2 \tau_{B}
d) \tau_{A}=\tau_{B}
e) não podem ser comparados.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tomei exatamente os dados fornecidos):
  • Dois osciladores massa-mola amortecidos têm a mesma constante de mola k e a mesma constante de amortecimento (denotarei por c).
  • As massas satisfazem \,m_A = 4 m_B.
    O que se pede: comparar os tempos de decaimento dos dois sistemas, ou seja, relacionar \tau_A com \tau_B.

Passo 2

Modelo físico e variáveis (explicando cada coisa):
  • A equação de movimento para amortecimento viscoso é
m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0,
onde \,x(t) é o deslocamento, m é a massa, c é a constante de amortecimento (força de amortecimento proporcional à velocidade: -c\dot x) e k é a constante da mola.
  • A solução geral depende das raízes da equação característica abaixo; antes de resolver, vou explicar o que entendemos por “tempo de decaimento”: normalmente, em osciladores amortecidos, a amplitude do movimento é multiplicada por um fator exponencial do tipo e^{-\gamma t}, e o “tempo de decaimento” \tau costuma ser definido pela constante de tempo dessa exponencial (ou seja, \tau=1/\gamma). Vou seguir essa definição, que é a usada em problemas de prova como este.

Passo 3

Equação característica e suas raízes:
  • Substituindo x(t)\propto e^{rt} obtemos a equação característica
m r^{2} + c r + k = 0.
  • As raízes são
r = \frac{-c \pm \sqrt{c^{2}-4mk}}{2m}.
Se c^{2}<4mk (caso subamortecido, muito comum em exercícios), as raízes são complexas conjugadas com parte real
\mathrm{Re}(r) = -\frac{c}{2m}.
Essa parte real negativa é a taxa de decaimento exponencial da amplitude.

Passo 4

Definição do parâmetro de decaimento e da constante de tempo:
  • Chamei a taxa de decaimento de \gamma, então
\gamma = \frac{c}{2m}.
  • A constante de tempo (tempo característico de decaimento) é o inverso dessa taxa:
\tau = \frac{1}{\gamma} = \frac{2m}{c}.
Interpretação: a amplitude decai aproximadamente como e^{-t/\tau}. Note que \tau é diretamente proporcional à massa m quando c é fixo.

Passo 5

Aplicando ao problema (usando \,m_A=4m_B):
  • Para o sistema A:
\tau_A=\frac{2m_A}{c}.
  • Para o sistema B:
\tau_B=\frac{2m_B}{c}.
  • Dividindo:
\frac{\tau_A}{\tau_B}=\frac{2m_A/c}{2m_B/c}=\frac{m_A}{m_B}.
Como m_A=4m_B, obtemos
\frac{\tau_A}{\tau_B}=4\quad\Rightarrow\quad \tau_A=4\tau_B.

Passo 6

Comentário sobre ambiguidade (para ficar completo e evitar surpresas na prova):
  • Usei o modelo de amortecimento viscoso (força -c\dot x) e a definição padrão de tempo de decaimento como \tau=2m/c. Se por “constante de amortecimento” o enunciado significar outra coisa (por exemplo dependente de massa) ou se estivermos em um regime não-exponencial, a comparação poderia mudar. Mas em provas de Física/Engenharia o que fiz é a interpretação correta e leva à resposta abaixo.

Resposta

\tau_A=4\tau_B

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