( 6 pontos) Dois sistemas massa-mola oscilantes amortecidos têm as mesmas constantes de mola e de amortecimento. No entanto, a massa
, do sistema A é quatro vezes a massa
, do sistema B . Como se comparam os seus tempos de decaimento?
(2)
a)
b)
d)
e) não podem ser comparados.
(2)
a)
b)
d)
e) não podem ser comparados.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tomei exatamente os dados fornecidos):
- Dois osciladores massa-mola amortecidos têm a mesma constante de mola
e a mesma constante de amortecimento (denotarei por ). - As massas satisfazem
.
O que se pede: comparar os tempos de decaimento dos dois sistemas, ou seja, relacionarcom .
Passo 2
Modelo físico e variáveis (explicando cada coisa):
- A equação de movimento para amortecimento viscoso é
onde
é o deslocamento,
é a massa,
é a constante de amortecimento (força de amortecimento proporcional à velocidade:
) e
é a constante da mola.
- A solução geral depende das raízes da equação característica abaixo; antes de resolver, vou explicar o que entendemos por “tempo de decaimento”: normalmente, em osciladores amortecidos, a amplitude do movimento é multiplicada por um fator exponencial do tipo
, e o “tempo de decaimento” costuma ser definido pela constante de tempo dessa exponencial (ou seja, ). Vou seguir essa definição, que é a usada em problemas de prova como este.
Passo 3
Equação característica e suas raízes:
- Substituindo
obtemos a equação característica
- As raízes são
Se
(caso subamortecido, muito comum em exercícios), as raízes são complexas conjugadas com parte real
Essa parte real negativa é a taxa de decaimento exponencial da amplitude.
Passo 4
Definição do parâmetro de decaimento e da constante de tempo:
- Chamei a taxa de decaimento de
, então
- A constante de tempo (tempo característico de decaimento) é o inverso dessa taxa:
Interpretação: a amplitude decai aproximadamente como
. Note que
é diretamente proporcional à massa
quando
é fixo.
Passo 5
Aplicando ao problema (usando
):
- Para o sistema A:
- Para o sistema B:
- Dividindo:
Como
, obtemos
Passo 6
Comentário sobre ambiguidade (para ficar completo e evitar surpresas na prova):
- Usei o modelo de amortecimento viscoso (força
) e a definição padrão de tempo de decaimento como . Se por “constante de amortecimento” o enunciado significar outra coisa (por exemplo dependente de massa) ou se estivermos em um regime não-exponencial, a comparação poderia mudar. Mas em provas de Física/Engenharia o que fiz é a interpretação correta e leva à resposta abaixo.