Uma onda harmônica se propaga para direita numa corda com velocidade de propagação igual a 1,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Um segmento qualquer da corda, enquanto essa onda o atravessa, tem deslocamento vertical máximo igual a 5,0 \mathrm{~m} e velocidade vertical máxima igual a 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
a) Encontre a frequência linear dessa onda harmônica ( \mathbf{4 , 0} pontos).
b) Determine o valor do comprimento de onda dessa onda harmônica ( \mathbf{4 , 0} pontos).
c) Baseado nas informações fornecidas e calculadas nos itens anteriores, determine uma possível função de onda que descreva essa onda harmônica ( \mathbf{1 0 , 0} pontos).
d) A função de onda obtida no item c) é solução de uma equação de onda. Determine essa equação de onda ( 8,0 pontos).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (retirados do enunciado):
  • velocidade de propagação: v=1,0\\ \mathrm{m/s}.
  • deslocamento vertical máximo (amplitude): A=5,0\\ \mathrm{m}.
  • velocidade vertical máxima de um ponto da corda: v_{\text{max}}=10\\ \mathrm{m/s}.
O enunciado pede:
(a) encontrar a frequência linear da onda (ou seja, a frequência temporal f, em hertz);
(b) determinar o comprimento de onda \lambda;
(c) dar uma possível função de onda que descreva a onda harmônica (onda que se propaga para a direita);
(d) determinar a equação de onda satisfeita por essa função.

Passo 2

Relação entre amplitude, velocidade máxima e frequência angular.
Explicando a ideia: um ponto fixo da corda, enquanto a onda o atravessa, realiza um movimento harmônico simples em função do tempo. Uma representação simples é
y(t)=A\sin\!\bigl(\omega t+\varphi\bigr),
onde:
  • y(t) é o deslocamento vertical desse ponto (em \mathrm{m}),
  • A é a amplitude máxima (em \mathrm{m}),
  • \omega é a frequência angular (em \mathrm{rad/s}),
  • \varphi é a fase inicial (adimensional).
A velocidade vertical desse ponto é a derivada temporal:
\frac{ \partial y}{\partial t } = \dot y(t)=A\omega\cos\!\bigl(\omega t+\varphi\bigr).
A amplitude da velocidade (ou velocidade máxima) é, portanto,
v_{\text{max}}=A\omega.
Essa fórmula vem direto da forma da derivada: o máximo de |\cos| é 1, então a amplitude da velocidade é A\omega.
Usando os dados:
\omega=\frac{v_{\text{max}}}{A}=\frac{10}{5,0}=2,0\\ \mathrm{rad/s}.
Portanto a frequência angular é \omega=2,0\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Relação entre frequência angular \omega e frequência temporal f.
Fórmula: \omega=2\pi f. Aqui:
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{2,0}{2\pi}=\frac{1}{\pi}\\ \mathrm{Hz}\approx0,3183\\ \mathrm{Hz}.
Explicação: f é o número de oscilações por segundo (Hz). A constante 2\pi aparece porque uma oscilação completa corresponde a 2\pi radianos na fase.

Passo 4

Encontrar o número de onda k e o comprimento de onda \lambda.
Relações úteis (explicação curta):
  • velocidade de fase: v=\dfrac{\omega}{k}, onde k é o número de onda (em \mathrm{rad/m});
  • comprimento de onda: \lambda=\dfrac{2\pi}{k};
  • ou ainda v=f\lambda (vai dar a mesma coisa).
Usando v=1,0\\ \mathrm{m/s} e \omega=2,0\\ \mathrm{rad/s}:
k=\frac{\omega}{v}=\frac{2,0}{1,0}=2,0\\ \mathrm{rad/m}.
Logo
\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{2,0}=\pi\\ \mathrm{m}\approx3,1416\\ \mathrm{m}.
Verificação alternativa rápida com v=f\lambda:
\lambda=\frac{v}{f}=\frac{1,0}{1/\pi}=\pi\\ \mathrm{m},
mesmo resultado.

Passo 5

Escolher uma forma possível para a função de onda que se propaga para a direita.
Forma geral (explicação): uma onda harmônica unidimensional que se propaga para a direita tem a forma
y(x,t)=A\sin\!\bigl(kx-\omega t+\varphi\bigr),
onde kx-\omega t garante o deslocamento da forma para a direita com velocidade v=\omega/k. O sinal negativo antes de \omega t é a convenção que dá movimento para a direita se v>0.
Escolhendo a fase inicial \varphi=0 (uma escolha válida: “uma possível função”), e usando A=5,0, k=2,0, \omega=2,0, obtemos:
y(x,t)=5,0\sin\!\bigl(2,0\,x-2,0\,t\bigr)\\ \mathrm{m}.
Verificação rápida (didática): derivando em relação ao tempo,
\frac{\partial y}{\partial t}=-5,0\cdot 2,0\cos\!\bigl(2,0x-2,0t\bigr)=-10\cos\!\bigl(2,0x-2,0t\bigr)\\ \mathrm{m/s},
cuja amplitude é 10\\ \mathrm{m/s}, como dado. A amplitude de y é 5,0\\ \mathrm{m}. Tudo coerente.

Passo 6

Determinar a equação de onda e mostrar que a função é sua solução.
A equação de onda unidimensional usual (para uma corda sem fontes) é
\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}.
Explicação: esta equação relaciona a curvatura espacial da forma y com sua aceleração temporal; v é a velocidade de propagação.
Para a nossa função y(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\varphi) vale:
\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=-k^{2}y,\qquad \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}=-\omega^{2}y.
Substituindo nessas expressões obtém-se
-k^{2}y=\frac{1}{v^{2}}\bigl(-\omega^{2}y\bigr)\quad\Longrightarrow\quad k^{2}=\frac{\omega^{2}}{v^{2}},
que é a relação de dispersão para ondas sem dispersão (aqui satisfeita, pois k=\omega/v).
No nosso caso v=1,0\\ \mathrm{m/s}, assim a equação de onda fica simplesmente
\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}.
E a função y(x,t)=5,0\sin\!\bigl(2,0x-2,0t\bigr) satisfaz essa equação (pelo cálculo das derivadas mostrado acima).

Resposta

(a) f=\dfrac{1}{\pi}\\ \mathrm{Hz}\approx0,3183\\ \mathrm{Hz} (com \omega=2,0\\ \mathrm{rad/s}).
(b) \lambda=\pi\\ \mathrm{m}\approx3,1416\\ \mathrm{m}.
(c) Uma possível função de onda: y(x,t)=5,0\sin\!\bigl(2,0\,x-2,0\,t\bigr)\\ \mathrm{m}.
(d) Equação de onda satisfeita: \dfrac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=\dfrac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}.

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