Uma onda harmônica se propaga para direita numa corda com velocidade de propagação igual a
. Um segmento qualquer da corda, enquanto essa onda o atravessa, tem deslocamento vertical máximo igual a
e velocidade vertical máxima igual a
.
a) Encontre a frequência linear dessa onda harmônica (
pontos).
b) Determine o valor do comprimento de onda dessa onda harmônica (
pontos).
c) Baseado nas informações fornecidas e calculadas nos itens anteriores, determine uma possível função de onda que descreva essa onda harmônica (
pontos).
d) A função de onda obtida no item c) é solução de uma equação de onda. Determine essa equação de onda ( 8,0 pontos).
a) Encontre a frequência linear dessa onda harmônica (
b) Determine o valor do comprimento de onda dessa onda harmônica (
c) Baseado nas informações fornecidas e calculadas nos itens anteriores, determine uma possível função de onda que descreva essa onda harmônica (
d) A função de onda obtida no item c) é solução de uma equação de onda. Determine essa equação de onda ( 8,0 pontos).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (retirados do enunciado):
- velocidade de propagação:
. - deslocamento vertical máximo (amplitude):
. - velocidade vertical máxima de um ponto da corda:
.
O enunciado pede:
(a) encontrar a frequência linear da onda (ou seja, a frequência temporal , em hertz);
(b) determinar o comprimento de onda ;
(c) dar uma possível função de onda que descreva a onda harmônica (onda que se propaga para a direita);
(d) determinar a equação de onda satisfeita por essa função.
(a) encontrar a frequência linear da onda (ou seja, a frequência temporal
(b) determinar o comprimento de onda
(c) dar uma possível função de onda que descreva a onda harmônica (onda que se propaga para a direita);
(d) determinar a equação de onda satisfeita por essa função.
Passo 2
Relação entre amplitude, velocidade máxima e frequência angular.
Explicando a ideia: um ponto fixo da corda, enquanto a onda o atravessa, realiza um movimento harmônico simples em função do tempo. Uma representação simples é
Explicando a ideia: um ponto fixo da corda, enquanto a onda o atravessa, realiza um movimento harmônico simples em função do tempo. Uma representação simples é
onde:
-
é o deslocamento vertical desse ponto (em ), -
é a amplitude máxima (em ), -
é a frequência angular (em ), -
é a fase inicial (adimensional).
A velocidade vertical desse ponto é a derivada temporal:
A amplitude da velocidade (ou velocidade máxima) é, portanto,
Essa fórmula vem direto da forma da derivada: o máximo de
é
, então a amplitude da velocidade é
.
Usando os dados:
Portanto a frequência angular é
.
Passo 3
Relação entre frequência angular
e frequência temporal
.
Fórmula: . Aqui:
Fórmula:
Explicação:
é o número de oscilações por segundo (Hz). A constante
aparece porque uma oscilação completa corresponde a
radianos na fase.
Passo 4
Encontrar o número de onda
e o comprimento de onda
.
Relações úteis (explicação curta):
Relações úteis (explicação curta):
- velocidade de fase:
, onde é o número de onda (em ); - comprimento de onda:
; - ou ainda
(vai dar a mesma coisa).
Usando
e
:
Logo
Verificação alternativa rápida com
:
mesmo resultado.
Passo 5
Escolher uma forma possível para a função de onda que se propaga para a direita.
Forma geral (explicação): uma onda harmônica unidimensional que se propaga para a direita tem a forma
Forma geral (explicação): uma onda harmônica unidimensional que se propaga para a direita tem a forma
onde
garante o deslocamento da forma para a direita com velocidade
. O sinal negativo antes de
é a convenção que dá movimento para a direita se
.
Escolhendo a fase inicial
(uma escolha válida: “uma possível função”), e usando
,
,
, obtemos:
Verificação rápida (didática): derivando em relação ao tempo,
cuja amplitude é
, como dado. A amplitude de
é
. Tudo coerente.
Passo 6
Determinar a equação de onda e mostrar que a função é sua solução.
A equação de onda unidimensional usual (para uma corda sem fontes) é
A equação de onda unidimensional usual (para uma corda sem fontes) é
Explicação: esta equação relaciona a curvatura espacial da forma
com sua aceleração temporal;
é a velocidade de propagação.
Para a nossa função
vale:
Substituindo nessas expressões obtém-se
que é a relação de dispersão para ondas sem dispersão (aqui satisfeita, pois
).
No nosso caso
, assim a equação de onda fica simplesmente
E a função
satisfaz essa equação (pelo cálculo das derivadas mostrado acima).
Resposta
(a)
(com
).
(b) .
(c) Uma possível função de onda:
(d) Equação de onda satisfeita:
(b)
(c) Uma possível função de onda:
(d) Equação de onda satisfeita: