Duas partículas iguais, de carga q, são colocadas no eixo x, uma na origem e outra no ponto x=5 \mathrm{~cm}. Uma terceira partícula, de carga -q, é colocada no eixo x em um ponto tal que a energia potencial do sistema de três partículas é igual à energia potencial para uma distância infinita entre as partículas. Isso significa que a coordenada x da terceira partícula é
Escolha uma opção:
◯ a. -5 cm
◯ b. \quad 7,5 \mathrm{~cm}
◯ C. 2,5 \mathrm{~cm}
◯ d. 10 cm
◯ e. 13 cm

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem clara.
  • Há duas partículas de carga \,q\, fixas no eixo x:
    • Uma em x=0.
    • Outra em x=5\\ \mathrm{cm}.
  • Uma terceira partícula, de carga -q, é colocada no eixo x em uma posição \,x (desconhecida) tal que a energia potencial elétrica total do sistema de três partículas é igual à energia potencial quando as partículas estão a distância infinita umas das outras.
O enunciado pede:
  • Determinar a coordenada \,x da terceira partícula (escolher a opção correta entre as dadas).
Observação importante extraída do enunciado (sem resolver ainda):
  • “Energia potencial igual à energia em distância infinita” significa que a energia potencial total do sistema vale zero (escolhemos U(\infty)=0 como referência).

Passo 2

Fórmula que vamos usar e explicação didática.
  • A energia potencial eletrostática entre duas cargas puntiformes \,q_i e \,q_j separadas por uma distância \,r_{ij} é
U_{ij}=k\,\frac{q_i q_j}{r_{ij}},
onde k é a constante eletrostática (não precisamos do seu valor numérico porque ele vai se cancelar depois). Aqui:
  • \,q_i e \,q_j são as cargas (podem ser positivas ou negativas),
  • \,r_{ij} é a distância entre as duas cargas (sempre positiva).
  • Para um sistema de três cargas, a energia potencial total é a soma das energias das três pares:
U_{\text{total}}=U_{12}+U_{13}+U_{23}.
  • No problema temos q_1=q em x=0, q_2=q em x=5\\ \mathrm{cm}, q_3=-q em x (incógnita). As distâncias entre pares são |x-0|=|x|, |x-5| e 5 (entre 0 e 5).
  • A condição pedida é
U_{\text{total}}=0,
pois U(\infty)=0 é referência.

Passo 3

Escrever explicitamente as três parcelas e montar a equação.
  • Energia entre as duas cargas positivas (em 0 e 5\\ \mathrm{cm}):
U_{12}=k\,\frac{q\cdot q}{5} = k\,\frac{q^{2}}{5}.
  • Energia entre a carga em 0 e a carga -q em x:
U_{13}=k\,\frac{q\cdot(-q)}{|x|} = -k\,\frac{q^{2}}{|x|}.
  • Energia entre a carga em 5 e a carga -q em x:
U_{23}=k\,\frac{q\cdot(-q)}{|x-5|} = -k\,\frac{q^{2}}{|x-5|}.
Somando e impondo U_{\text{total}}=0:
k\left(\frac{q^{2}}{5}-\frac{q^{2}}{|x|}-\frac{q^{2}}{|x-5|}\right)=0.
Como k e q^{2} são diferentes de zero, podemos cancelar e obter a equação mais simples:
\frac{1}{5}-\frac{1}{|x|}-\frac{1}{|x-5|}=0,
ou, reescrevendo,
\frac{1}{|x|}+\frac{1}{|x-5|}=\frac{1}{5}.

Passo 4

Analisar os intervalos possíveis para x (por causa dos valores absolutos) e resolver em cada intervalo. Os intervalos são:
  • (I) x<0,
  • (II) 0<x<5,
  • (III) x>5.
Resolveremos em cada caso substituindo os módulos por expressões sem módulo.

Passo 5

Caso (II): 0<x<5. Aqui |x|=x e |x-5|=5-x. A equação fica
\frac{1}{x}+\frac{1}{5-x}=\frac{1}{5}.
Somando frações:
\frac{5-x+x}{x(5-x)}=\frac{5}{x(5-x)}=\frac{1}{5}.
Multiplicando cruzado:
25=x(5-x).
Isso dá
x^{2}-5x+25=0.
O discriminante é
\Delta=(-5)^{2}-4\cdot1\cdot25=25-100=-75<0,
ou seja, não há solução real em 0<x<5. Portanto nenhum valor de x entre 0 e 5 satisfaz a condição.

Passo 6

Caso (III): x>5. Aqui |x|=x e |x-5|=x-5. A equação fica
\frac{1}{x}+\frac{1}{x-5}=\frac{1}{5}.
Colocando sobre o mesmo denominador:
\frac{x-5+x}{x(x-5)}=\frac{2x-5}{x(x-5)}=\frac{1}{5}.
Multiplicando cruzado:
5(2x-5)=x(x-5).
Expandindo:
10x-25 = x^{2}-5x.
Passando tudo para um lado:
x^{2}-15x+25=0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
x=\frac{15\pm\sqrt{15^{2}-4\cdot1\cdot25}}{2}=\frac{15\pm\sqrt{225-100}}{2}=\frac{15\pm\sqrt{125}}{2}=\frac{15\pm5\sqrt{5}}{2}.
Valores numéricos (aproximações):
x_{1}=\frac{15+5\sqrt{5}}{2}\approx\frac{15+11{,}18034}{2}\approx13{,}09017\\ \mathrm{cm},
x_{2}=\frac{15-5\sqrt{5}}{2}\approx\frac{15-11{,}18034}{2}\approx1{,}90983\\ \mathrm{cm}.
Mas lembra: estamos no caso x>5, logo só aceitaremos a raiz maior x\approx13{,}09\\ \mathrm{cm}. A raiz x\approx1{,}91\\ \mathrm{cm} não pertence a este intervalo, então é descartada aqui.

Passo 7

Caso (I): x<0. Escreve-se x=-y com y>0. Então |x|=y e |x-5|=5+y. A equação vira
\frac{1}{y}+\frac{1}{5+y}=\frac{1}{5}.
Somando:
\frac{5+2y}{y(5+y)}=\frac{1}{5}.
Multiplicando cruzado:
5(5+2y)=y(5+y).
Expandindo:
25+10y=5y+y^{2}.
Passando tudo para um lado:
y^{2}-5y-25=0.
Aplicando Bhaskara:
y=\frac{5\pm\sqrt{25+100}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{125}}{2}=\frac{5\pm5\sqrt{5}}{2}.
A raiz positiva válida é
y=\frac{5+5\sqrt{5}}{2}\approx\frac{5+11{,}18034}{2}\approx8{,}09017.
Voltando a x=-y, obtemos
x\approx-8{,}09017\\ \mathrm{cm}.
Este valor satisfaz x<0, então é uma solução física da equação original. (Portanto existem duas posições possíveis onde a energia total é zero: cerca de -8{,}09\\ \mathrm{cm} e cerca de 13{,}09\\ \mathrm{cm}.)

Passo 8

Interpretação final para escolher entre as opções dadas.
  • As soluções exatas encontradas são
x=\frac{15\pm5\sqrt{5}}{2}\quad\text{e}\quad x=-\frac{5+5\sqrt{5}}{2}.
Numericamente as soluções relevantes são aproximadamente x\approx-8{,}09\\ \mathrm{cm} e x\approx13{,}09\\ \mathrm{cm}.
  • Das opções fornecidas a que se aproxima de 13{,}09\\ \mathrm{cm} é a opção (e) 13\\ \mathrm{cm}. As outras opções estão longe das soluções exatas.

Resposta

e. 13 cm

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