Duas partículas iguais, de carga
, são colocadas no eixo
, uma na origem e outra no ponto
. Uma terceira partícula, de carga
, é colocada no eixo
em um ponto tal que a energia potencial do sistema de três partículas é igual à energia potencial para uma distância infinita entre as partículas. Isso significa que a coordenada
da terceira partícula é
Escolha uma opção:
◯ a. -5 cm
◯ b.
◯ C.
◯ d. 10 cm
◯ e. 13 cm
◯ a. -5 cm
◯ b.
◯ C.
◯ d. 10 cm
◯ e. 13 cm
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem clara.
- Há duas partículas de carga
fixas no eixo : - Uma em
. - Outra em
.
- Uma em
- Uma terceira partícula, de carga
, é colocada no eixo em uma posição (desconhecida) tal que a energia potencial elétrica total do sistema de três partículas é igual à energia potencial quando as partículas estão a distância infinita umas das outras.
O enunciado pede:
- Determinar a coordenada
da terceira partícula (escolher a opção correta entre as dadas).
Observação importante extraída do enunciado (sem resolver ainda):
- “Energia potencial igual à energia em distância infinita” significa que a energia potencial total do sistema vale zero (escolhemos
como referência).
Passo 2
Fórmula que vamos usar e explicação didática.
- A energia potencial eletrostática entre duas cargas puntiformes
e separadas por uma distância é
onde
é a constante eletrostática (não precisamos do seu valor numérico porque ele vai se cancelar depois). Aqui:
-
e são as cargas (podem ser positivas ou negativas), -
é a distância entre as duas cargas (sempre positiva). -
Para um sistema de três cargas, a energia potencial total é a soma das energias das três pares:
-
No problema temos
em , em , em (incógnita). As distâncias entre pares são , e (entre e ). -
A condição pedida é
pois
é referência.
Passo 3
Escrever explicitamente as três parcelas e montar a equação.
- Energia entre as duas cargas positivas (em
e ):
- Energia entre a carga em
e a carga em :
- Energia entre a carga em
e a carga em :
Somando e impondo
:
Como
e
são diferentes de zero, podemos cancelar e obter a equação mais simples:
ou, reescrevendo,
Passo 4
Analisar os intervalos possíveis para
(por causa dos valores absolutos) e resolver em cada intervalo. Os intervalos são:
- (I)
, - (II)
, - (III)
.
Resolveremos em cada caso substituindo os módulos por expressões sem módulo.
Passo 5
Caso (II):
. Aqui
e
. A equação fica
Somando frações:
Multiplicando cruzado:
Isso dá
O discriminante é
ou seja, não há solução real em
. Portanto nenhum valor de
entre
e
satisfaz a condição.
Passo 6
Caso (III):
. Aqui
e
. A equação fica
Colocando sobre o mesmo denominador:
Multiplicando cruzado:
Expandindo:
Passando tudo para um lado:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Valores numéricos (aproximações):
Mas lembra: estamos no caso
, logo só aceitaremos a raiz maior
. A raiz
não pertence a este intervalo, então é descartada aqui.
Passo 7
Caso (I):
. Escreve-se
com
. Então
e
. A equação vira
Somando:
Multiplicando cruzado:
Expandindo:
Passando tudo para um lado:
Aplicando Bhaskara:
A raiz positiva válida é
Voltando a
, obtemos
Este valor satisfaz
, então é uma solução física da equação original. (Portanto existem duas posições possíveis onde a energia total é zero: cerca de
e cerca de
.)
Passo 8
Interpretação final para escolher entre as opções dadas.
- As soluções exatas encontradas são
Numericamente as soluções relevantes são aproximadamente
e
.
- Das opções fornecidas a que se aproxima de
é a opção (e) . As outras opções estão longe das soluções exatas.
Resposta
e. 13 cm