a) Misturamos 140 \mathrm{~cm}^{3} de água a 82,0^{\circ} \mathrm{C} com uma massa de gelo de 12,0 \mathrm{~g} na temperatura de fusão. Qual a temperatura de equilíbrio? (suponha só haver trocas de calor entre o gelo e a água).
b) Que massa de gelo seria necessária se quiséssemos que a temperatura final fosse a temperatura de fusão?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados que peguei do enunciado:
    • Volume de água: 140\\ \mathrm{cm^{3}}.
    • Temperatura inicial da água: 82{,}0^\circ\mathrm{C}.
    • Massa de gelo inicial: 12{,}0\\ \mathrm{g}.
    • O gelo está à temperatura de fusão (ou seja, a 0^\circ\mathrm{C}).
  • O enunciado pede:
    a) Determinar a temperatura de equilíbrio final do sistema (supondo que só há trocas de calor entre gelo e água).
    b) Determinar que massa de gelo seria necessária para que a temperatura final fosse a temperatura de fusão ( 0^\circ\mathrm{C}).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinho, passo a passo).
  • Conservação de energia térmica num sistema isolado: o calor perdido por quem está mais quente é igual ao calor ganho por quem está mais frio (sem perdas para o ambiente). Em símbolos,
Q_{\text{perdido}} + Q_{\text{ganho}} = 0.
Vou escrever de forma prática: o calor perdido pela água ao esfriar será usado para derreter o gelo e, depois, para aquecer a água resultante do gelo (se derreter completamente).
  • Calor sensível (quando a temperatura muda): para uma massa m de substância com calor específico c, ao variar a temperatura de T_i para T_f,
Q = m\, c \, (T_f - T_i).
Explicando cada símbolo:
  • Q é o calor (em joules, \mathrm{J}); positivo se absorvido pela amostra, negativo se liberado.
  • m é a massa (em gramas, \mathrm{g}).
  • c é o calor específico (em \mathrm{J\,g^{-1}\,^\circ C^{-1}}).
  • T_i,T_f são temperaturas em ^\circ\mathrm{C}.
  • Calor latente de fusão (quando há mudança de fase de gelo para água a 0^\circ\mathrm{C}):
Q_{\text{fusão}} = m\, L_f,ã
onde L_f é o calor latente de fusão (em \mathrm{J\,g^{-1}}) e m é a massa de gelo que funde.
Valores numéricos padrão que vamos usar (com explicação):
  • Calor específico da água: c = 4{,}18\\ \mathrm{J\,g^{-1}\,^\circ C^{-1}}. Isso significa que para aquecer 1\\ \mathrm{g} de água em 1^\circ\mathrm{C} é preciso 4{,}18\\ \mathrm{J}.
  • Calor latente de fusão do gelo: L_f = 334\\ \mathrm{J\,g^{-1}}. Isso significa que para fundir 1\\ \mathrm{g} de gelo à 0^\circ\mathrm{C} é preciso 334\\ \mathrm{J}.
  • Densidade da água: 1{,}00\\ \mathrm{g\,cm^{-3}}, logo 140\\ \mathrm{cm^{3}} de água tem massa 140\\ \mathrm{g}.

Passo 3

Converter dados e declarar incógnitas.
  • Massa da água:
m_w = 140\\ \mathrm{cm^{3}}\times 1{,}00\\ \mathrm{g\,cm^{-3}} = 140\\ \mathrm{g}.
  • Temperatura inicial da água:
T_{w,i} = 82{,}0^\circ\mathrm{C}.
  • Massa do gelo:
m_i = 12{,}0\\ \mathrm{g}.
  • Temperatura inicial do gelo:
T_{i,i} = 0^\circ\mathrm{C}.
  • Incógnita para (a): temperatura final de equilíbrio T_f (em ^\circ\mathrm{C}).
  • Incógnita para (b): massa de gelo necessária m_{i,\text{req}} para que T_f = 0^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Antes de escrever a equação geral, verificar se todo o gelo vai derreter com o calor disponível da água ao esfriar até 0^\circ\mathrm{C}. Isso é útil para saber se a temperatura final ficará acima de 0^\circ\mathrm{C} (todo gelo derrete) ou exatamente 0^\circ\mathrm{C} (algum gelo pode permanecer).
  • Calor que a água libera ao esfriar de T_{w,i} até 0^\circ\mathrm{C}:
Q_{\text{disponível}} = m_w c (0 - T_{w,i}) = - m_w c (T_{w,i}).í
O módulo (energia disponível para fusão) é
|Q_{\text{disponível}}| = m_w c T_{w,i}.í
Calcular numericamente:
|Q_{\text{disponível}}| = 140\cdot 4{,}18\cdot 82{,}0.í
Faço a conta passo a passo:
4{,}18\cdot 82{,}0 = 342{,}76
342{,}76\cdot 140 = 342{,}76\cdot(100+40) = 34276 + 13710{,}4 = 47986{,}4\\ \mathrm{J}.
  • Energia necessária para fundir toda a massa de gelo m_i:
Q_{\text{necessário}} = m_i L_f = 12{,}0\cdot 334 = 4008\\ \mathrm{J}.á
Comparação:
|Q_{\text{disponível}}| = 47986{,}4\\ \mathrm{J} \qquad\text{e}\qquad Q_{\text{necessário}} = 4008\\ \mathrm{J}.íá
Como 47986{,}4 > 4008, há calor suficiente para fundir todo o gelo e ainda sobrará energia. Conclusão: todo o gelo derrete e a temperatura de equilíbrio será maior que 0^\circ\mathrm{C}. Portanto no item (a) devemos pressupor gelo completamente fundido e então equilibrado com a água.

Passo 5

Montar a equação de conservação de energia para o caso em que todo o gelo derrete e a água resultante atinge T_f (com T_f>0^\circ\mathrm{C}).
  • Calor perdido pela água quente ao esfriar de T_{w,i} para T_f:
Q_{\text{água}} = m_w c (T_f - T_{w,i}) \quad\text{(será negativo, já que \(T_f<T_{w,i}\))}.ááá
  • Calor ganho pelo gelo: duas partes
    1. fusão do gelo: Q_{\text{fusão}} = m_i L_fã (positivo),
    2. aquecimento da água resultante do gelo de 0^\circ\mathrm{C} até T_f: Q_{\text{agua do gelo}} = m_i c (T_f - 0).
Equação de equilíbrio (somando ganhos e perdas = 0):
m_w c (T_f - T_{w,i}) + m_i L_f + m_i c (T_f - 0) = 0.
Isolando T_f:
m_w c T_f - m_w c T_{w,i} + m_i L_f + m_i c T_f = 0,
T_f (m_w c + m_i c) = m_w c T_{w,i} - m_i L_f,
\boxed{T_f = \dfrac{m_w c T_{w,i} - m_i L_f}{(m_w + m_i)\, c}.}
Note que o c da água aparece em todos os termos porque o gelo, ao derreter, vira água e depois se aquece com o mesmo calor específico da água.

Passo 6

Substituir números na fórmula passo a passo e calcular T_f.
  • Numerador:
m_w c T_{w,i} = 140\cdot 4{,}18\cdot 82{,}0 = 47986{,}4\\ \mathrm{J}
(conforme já calculei no Passo 4),
m_i L_f = 12{,}0\cdot 334 = 4008\\ \mathrm{J},
\text{numerador} = 47986{,}4 - 4008 = 43978{,}4\\ \mathrm{J}.
  • Denominador:
(m_w + m_i)\, c = (140 + 12{,}0)\cdot 4{,}18 = 152\cdot 4{,}18.
Faço a multiplicação:
4{,}18\cdot 152 = 4{,}18\cdot(150+2) = 627 + 8{,}36 = 635{,}36\\ \mathrm{J\,^\circ C^{-1}}.
  • Dividindo:
T_f = \frac{43978{,}4}{635{,}36} \approx 69{,}22^\circ\mathrm{C}.
Interpretação rápida: a massa relativamente grande de água quente (140 g a 82{,}0^\circ\mathrm{C}) tem energia suficiente para fundir o gelo de 12{,}0\\ \mathrm{g} e ainda aquecer toda a água resultante até cerca de 69{,}2^\circ\mathrm{C}. Dá para ver a razão intuitiva: a quantidade de gelo é pequena comparada à água quente.

Passo 7

Agora resolvemos (b): massa de gelo necessária para que a temperatura final seja exatamente 0^\circ\mathrm{C}.
  • Para que T_f = 0^\circ\mathrm{C}, toda a energia que a água perde ao esfriar de T_{w,i} até 0^\circ\mathrm{C} deve ser usada apenas na fusão do gelo. Isto é:
m_w c (0 - T_{w,i}) + m_{i,\text{req}} L_f = 0,
ou em módulo,
m_w c T_{w,i} = m_{i,\text{req}} L_f.
  • Isolando m_{i,\text{req}}:
\boxed{m_{i,\text{req}} = \dfrac{m_w c T_{w,i}}{L_f}.}
  • Substituindo valores:
m_{i,\text{req}} = \dfrac{140\cdot 4{,}18\cdot 82{,}0}{334}.
Já temos o numerador calculado:
140\cdot 4{,}18\cdot 82{,}0 = 47986{,}4\\ \mathrm{J}.
Logo
m_{i,\text{req}} = \frac{47986{,}4}{334} \approx 143{,}672\\ \mathrm{g}.
  • Interpretação prática: para que a mistura termine a 0^\circ\mathrm{C} seria necessário ter cerca de 143{,}7\\ \mathrm{g} de gelo no total. Como o enunciado original já fornece 12{,}0\\ \mathrm{g} de gelo, a massa adicional de gelo a acrescentar seria
143{,}7 - 12{,}0 \approx 131{,}7\\ \mathrm{g}.

Passo 8

Resumo numérico e observações sobre algarismos significativos (rápido e motivador):
  • Os cálculos foram feitos usando c=4{,}18\\ \mathrm{J\,g^{-1}\,^\circ C^{-1}} e L_f=334\\ \mathrm{J\,g^{-1}} (valores padrão).
  • Arredondando de forma razoável considerando os dados fornecidos, podemos dar as respostas com três algarismos significativos.

Resposta

T_f \approx 69{,}2^\circ\mathrm{C}
m_{i,\text{req}} \approx 143{,}7\\ \mathrm{g}

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