a) Misturamos
de água a
com uma massa de gelo de
na temperatura de fusão. Qual a temperatura de equilíbrio? (suponha só haver trocas de calor entre o gelo e a água).
b) Que massa de gelo seria necessária se quiséssemos que a temperatura final fosse a temperatura de fusão?
b) Que massa de gelo seria necessária se quiséssemos que a temperatura final fosse a temperatura de fusão?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Dados que peguei do enunciado:
- Volume de água:
. - Temperatura inicial da água:
. - Massa de gelo inicial:
. - O gelo está à temperatura de fusão (ou seja, a
).
- Volume de água:
- O enunciado pede:
a) Determinar a temperatura de equilíbrio final do sistema (supondo que só há trocas de calor entre gelo e água).
b) Determinar que massa de gelo seria necessária para que a temperatura final fosse a temperatura de fusão ().
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinho, passo a passo).
- Conservação de energia térmica num sistema isolado: o calor perdido por quem está mais quente é igual ao calor ganho por quem está mais frio (sem perdas para o ambiente). Em símbolos,
Vou escrever de forma prática: o calor perdido pela água ao esfriar será usado para derreter o gelo e, depois, para aquecer a água resultante do gelo (se derreter completamente).
- Calor sensível (quando a temperatura muda): para uma massa
de substância com calor específico , ao variar a temperatura de para ,
Explicando cada símbolo:
-
é o calor (em joules, ); positivo se absorvido pela amostra, negativo se liberado. -
é a massa (em gramas, ). -
é o calor específico (em ). -
são temperaturas em . -
Calor latente de fusão (quando há mudança de fase de gelo para água a
):
onde
é o calor latente de fusão (em
) e
é a massa de gelo que funde.
Valores numéricos padrão que vamos usar (com explicação):
- Calor específico da água:
. Isso significa que para aquecer de água em é preciso . - Calor latente de fusão do gelo:
. Isso significa que para fundir de gelo à é preciso . - Densidade da água:
, logo de água tem massa .
Passo 3
Converter dados e declarar incógnitas.
- Massa da água:
- Temperatura inicial da água:
- Massa do gelo:
- Temperatura inicial do gelo:
- Incógnita para (a): temperatura final de equilíbrio
(em ). - Incógnita para (b): massa de gelo necessária
para que .
Passo 4
Antes de escrever a equação geral, verificar se todo o gelo vai derreter com o calor disponível da água ao esfriar até
. Isso é útil para saber se a temperatura final ficará acima de
(todo gelo derrete) ou exatamente
(algum gelo pode permanecer).
- Calor que a água libera ao esfriar de
até :
O módulo (energia disponível para fusão) é
Calcular numericamente:
Faço a conta passo a passo:
- Energia necessária para fundir toda a massa de gelo
:
Comparação:
Como
, há calor suficiente para fundir todo o gelo e ainda sobrará energia. Conclusão: todo o gelo derrete e a temperatura de equilíbrio será maior que
. Portanto no item (a) devemos pressupor gelo completamente fundido e então equilibrado com a água.
Passo 5
Montar a equação de conservação de energia para o caso em que todo o gelo derrete e a água resultante atinge
(com
).
- Calor perdido pela água quente ao esfriar de
para :
- Calor ganho pelo gelo: duas partes
- fusão do gelo:
(positivo), - aquecimento da água resultante do gelo de
até : .
- fusão do gelo:
Equação de equilíbrio (somando ganhos e perdas = 0):
Isolando
:
Note que o
da água aparece em todos os termos porque o gelo, ao derreter, vira água e depois se aquece com o mesmo calor específico da água.
Passo 6
Substituir números na fórmula passo a passo e calcular
.
- Numerador:
(conforme já calculei no Passo 4),
- Denominador:
Faço a multiplicação:
- Dividindo:
Interpretação rápida: a massa relativamente grande de água quente (140 g a
) tem energia suficiente para fundir o gelo de
e ainda aquecer toda a água resultante até cerca de
. Dá para ver a razão intuitiva: a quantidade de gelo é pequena comparada à água quente.
Passo 7
Agora resolvemos (b): massa de gelo necessária para que a temperatura final seja exatamente
.
- Para que
, toda a energia que a água perde ao esfriar de até deve ser usada apenas na fusão do gelo. Isto é:
ou em módulo,
- Isolando
:
- Substituindo valores:
Já temos o numerador calculado:
Logo
- Interpretação prática: para que a mistura termine a
seria necessário ter cerca de de gelo no total. Como o enunciado original já fornece de gelo, a massa adicional de gelo a acrescentar seria
Passo 8
Resumo numérico e observações sobre algarismos significativos (rápido e motivador):
- Os cálculos foram feitos usando
e (valores padrão). - Arredondando de forma razoável considerando os dados fornecidos, podemos dar as respostas com três algarismos significativos.