(3,4 pontos) Uma parede, de 1,00 \mathrm{~m}^{2}, é composta por três camadas de condutividades diferentes \mathrm{k}_{1}=0,450 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}, \mathrm{k}_{2}=0,120 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{k}_{3}=0,200 \mathrm{W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}. Os comprimentos são \mathrm{L}_{1}=8,52 \mathrm{~cm}, \mathrm{~L}_{2}=12,21 \mathrm{~cm} \mathrm{e} \mathrm{L}_{3}=7,51 \mathrm{~cm}. Sabese que as temperaturas nas partes fria (próximo ao material 1) vale T_{F}=0,00^{\circ} \mathrm{C} \mathrm{e} a da quente (próximo ao material 3) vale \mathrm{T}_{\mathrm{Q}}=141,45^{\circ} \mathrm{C}.
a) Qual a potência por metro quadrado que atravessa a parede no regime estacionário?
b) Se no lado frio há gelo, que massa de gelo derrete em 1,00 minuto?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Dados extraídos do enunciado:
    • Área da parede: A=1{,}00\\ \mathrm{m^{2}}.
    • Condutividades térmicas:
      • k_{1}=0{,}450\\ \mathrm{W/(m\cdot^\circ C)},
      • k_{2}=0{,}120\\ \mathrm{W/(m\cdot^\circ C)},
      • k_{3}=0{,}200\\ \mathrm{W/(m\cdot^\circ C)}.
    • Espessuras (convertendo centimetros para metros):
      • L_{1}=8{,}52\\ \mathrm{cm}=0{,}0852\\ \mathrm{m},
      • L_{2}=12{,}21\\ \mathrm{cm}=0{,}1221\\ \mathrm{m},
      • L_{3}=7{,}51\\ \mathrm{cm}=0{,}0751\\ \mathrm{m}.
    • Temperaturas nas faces:
      • lado frio: T_{F}=0{,}00^\circ\mathrm{C},
      • lado quente: T_{Q}=141{,}45^\circ\mathrm{C}.
  • O que o enunciado pede:
    (a) A potência por metro quadrado que atravessa a parede no regime estacionário (ou seja, o fluxo de calor por unidade de área, \dot{q}'' em \mathrm{W/m^{2}}).
    (b) Se no lado frio há gelo, qual massa de gelo derrete em 1{,}00 minuto (usar a energia fornecida pelo fluxo de calor calculado).

Passo 2

Entendendo o modelo físico e a fórmula básica (aulas rápidas, sem pular etapas).
  • Em regime estacionário e unidimensional, o transporte de calor por condução através de cada camada segue a Lei de Fourier para uma placa plana homogênea: \dot{Q} = -k A \frac{\Delta T}{L},onde:
    • \dot{Q} é a taxa de calor (potência) em \mathrm{W},
    • k é a condutividade térmica da camada em \mathrm{W/(m\cdot ^\circ C)},
    • A é a área atravessada em \mathrm{m^{2}},
    • \Delta T é a diferença de temperatura entre as faces da camada em ^\circ\mathrm{C},
    • L é a espessura da camada em \mathrm{m}.
  • Para trabalhar por unidade de área (o que o enunciado pede em (a)), definimos o fluxo de calor por unidade de área: \dot{q}''=\frac{\dot{Q}}{A} = -k\frac{\Delta T}{L},com unidades \mathrm{W/m^{2}}.
  • Quando várias camadas estão em série (uma após a outra), as resistências térmicas somam. Para cada camada a resistência térmica por unidade de área é R_i=\frac{L_i}{k_i}\quad\text{(unidade: }\mathrm{m^{2}\,^\circ C/W}\text{)}.A resistência total por unidade de área é R_\text{tot}=\sum_{i=1}^{3} R_i=\sum_{i=1}^{3}\frac{L_i}{k_i}.Assim o fluxo por unidade de área através das três camadas em série é \dot{q}''=\frac{T_Q-T_F}{R_\text{tot}}.
  • Resumo: para resolver (a) basta calcular cada R_i=\dfrac{L_i}{k_i}, somar e dividir \Delta T por R_\text{tot}.

Passo 3

Converter e preparar os valores numéricos para cálculo (detalhando cada conversão).
  • Já converti as espessuras para metros no Passo 1, repito aqui para clareza: L_{1}=0{,}0852\\ \mathrm{m},\quad L_{2}=0{,}1221\\ \mathrm{m},\quad L_{3}=0{,}0751\\ \mathrm{m}.
  • Diferença de temperatura: \Delta T = T_{Q}-T_{F}=141{,}45^\circ\mathrm{C}-0{,}00^\circ\mathrm{C}=141{,}45^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Calcular as resistências térmicas por unidade de área de cada camada, passo a passo.
  • Para a camada 1: R_{1}=\frac{L_{1}}{k_{1}}=\frac{0{,}0852}{0{,}450}=0{,}189333\ldots\\ \mathrm{m^{2}\,^\circ C/W}.(mostrando a divisão: 0{,}0852\div0{,}450\approx0{,}189333)
  • Para a camada 2: R_{2}=\frac{L_{2}}{k_{2}}=\frac{0{,}1221}{0{,}120}=1{,}0175\\ \mathrm{m^{2}\,^\circ C/W}.(pois 0{,}1221\div0{,}120=1{,}0175)
  • Para a camada 3: R_{3}=\frac{L_{3}}{k_{3}}=\frac{0{,}0751}{0{,}200}=0{,}3755\\ \mathrm{m^{2}\,^\circ C/W}.(pois 0{,}0751\div0{,}200=0{,}3755)

Passo 5

Somar as resistências para obter a resistência total e explicar unidades.
  • Soma: R_{\text{tot}}=R_{1}+R_{2}+R_{3}=0{,}189333\ldots+1{,}0175+0{,}3755=1{,}582333\ldots\\ \mathrm{m^{2}\,^\circ C/W}.
  • Interpretação rápida: R_{\text{tot}} tem unidades \mathrm{m^{2}\,^\circ C/W}, então \dfrac{\Delta T}{R_{\text{tot}}} tem unidades \mathrm{W/m^{2}}, que é exatamente o fluxo de calor por unidade de área.

Passo 6

Calcular a potência por metro quadrado no regime estacionário (resposta da letra a).
  • Aplicando a fórmula: \dot{q}''=\frac{\Delta T}{R_{\text{tot}}}=\frac{141{,}45}{1{,}582333\ldots}.
  • Fazendo a divisão: \dot{q}''\approx 89{,}39\\ \mathrm{W/m^{2}}.(arredondamento razoável com três algarismos significativos: 89{,}4\\ \mathrm{W/m^{2}})

Passo 7

Calcular a massa de gelo que derrete em 1{,}00 minuto usando a energia fornecida (letra b).
  • Energia fornecida à face fria em t=1{,}00 minuto ( =60\\ \mathrm{s}): E=\dot{q}''\cdot A\cdot t.Com A=1{,}00\\ \mathrm{m^{2}} e t=60\\ \mathrm{s}, E=89{,}394\\ \mathrm{W/m^{2}}\times1{,}00\\ \mathrm{m^{2}}\times60\\ \mathrm{s}\approx 5\,363{,}6\\ \mathrm{J}.
  • Para fundir gelo usamos o calor latente de fusão da água. Valor padrão (aproximado): L_{f}=334{,}000\\ \mathrm{J/kg}.(significado: para fundir 1\\ \mathrm{kg} de gelo à 0^\circ\mathrm{C} sem mudar a temperatura, é preciso 334{,}000\\ \mathrm{J}.)
  • Massa de gelo fundida: m=\frac{E}{L_{f}}=\frac{5\,363{,}6}{334{,}000}\approx 0{,}01607\\ \mathrm{kg}.
  • Convertendo para gramas (opcional, para intuição): m\approx 16{,}07\\ \mathrm{g}.

Passo 8

Breve checagem e incentivo final (rápida):
  • Os cálculos são coerentes: fluxo moderado \sim 89\\ \mathrm{W/m^{2}} e energia em 1 minuto suficiente para derreter cerca de 16\\ \mathrm{g} de gelo por metro quadrado — número pequeno, faz sentido porque o tempo é curto e o fluxo não é enorme.
  • Boa! Isso resolve o problema e mostra como aplicar resistência térmica em série e a relação com calor latente. Se quiser, eu repito com menos casas decimais ou mostro gráfico mental do perfil de temperatura ao longo das camadas.

Resposta

(a) \dot{q}''\approx 89{,}4\\ \mathrm{W/m^{2}}\n
(b) m\approx 0{,}01607\\ \mathrm{kg} (ou 16{,}07\\ \mathrm{g})

Exercícios relacionados