Duas partículas iguais de inércia m estão ligadas por uma haste rígida de inércia desprezível e comprimento d. O centro de massa desse sistema, semelhante a um haltere, está estacionário num espaço livre da gravidade e o sistema gira, com velocidade angular omega, em torno do centro de massa. Uma das partículas girantes choca-se contra uma terceira estacionária de inércia m, que adere a ela.
(a) Localize o centro de massa do sistema de três partículas no instante imediatamente anterior à colisão. Qual a velocidade do centro de massa?
(b) Qual é o momento angular do sistema de três partículas, relativamente ao centro de massa, no instante imediatamente anterior à colisão e após a colisão?
© Em torno de qual eixo o sistema de três partículas gira? Qual é a velocidade angular desse sistema em torno desse eixo? Qual a velocidade do centro de massa?
(d) Quais são as energias cinéticas inicial e final? Comente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas partículas iguais com massa $ m $ ligadas por uma haste rígida de comprimento $ d $. O sistema está girando com velocidade angular $ \omega $ em torno do centro de massa e, numa certa hora, uma das partículas colide com uma terceira partícula estacionária também de massa $ m $, que acaba aderindo a ela.
Vamos precisar usar conceitos de Centro de Massa, Momento Angular e Conservação de Momento Angular, além de entender como as colisões afetam o sistema. Vamos resolver cada parte passo a passo para esclarecer tudo.

Passo 2

Parte (a): Localizar o centro de massa do sistema de três partículas imediatamente antes da colisão e determinar a velocidade do centro de massa.

Entendendo o problema:
Antes da colisão, temos duas partículas de massa $ m $ separadas por uma distância $ d $ e girando em torno do centro de massa. Queremos achar onde está esse centro de massa e qual a sua velocidade.
Localizando o Centro de Massa:
Como as duas partículas têm a mesma massa e estão a uma distância $ d $ uma da outra, o centro de massa estará exatamente no meio da haste que as conecta. Portanto, a posição do centro de massa é o ponto médio entre as duas partículas.
Matematicamente, se uma partícula está em $ -\frac{d}{2} $ e a outra em $ \frac{d}{2} $ (em relação ao centro), o centro de massa $ R_{cm} $ é:
m
Velocidade do Centro de Massa:
Como o sistema está girando em torno do centro de massa e não há forças externas atuando (o sistema está no espaço livre da gravidade), o centro de massa permanece estacionário ou move-se com velocidade constante.
No enunciado, não há indicação de movimento linear inicial do centro de massa, então:
d

Passo 3

Parte (b): Determinar o momento angular do sistema de três partículas relativamente ao centro de massa antes e após a colisão.

Antes da Colisão:
O momento angular ($ L $) de um sistema em rotação é dado por:
L
Onde $ I $ é o momento de inércia e $ \omega $ é a velocidade angular.
Para duas partículas de massa $ m $ a uma distância $ \frac{d}{2} $ do centro de massa:
L = I omega
Logo, o momento angular antes da colisão:
I
Após a Colisão:
Após a colisão, temos três partículas: duas que já estavam girando e uma que aderiu, ficando a uma nova distância do centro de massa.
Primeiro, vamos calcular o novo momento de inércia. A partícula aderida estava a uma distância $ d $ do centro de massa (considerando que colidiu com uma das partículas a $ \frac{d}{2} $ do centro).
omega
Pela Conservação do Momento Angular (sem torques externos):
m
d2
Resolvendo para $ \omega’ $:
I = 2 cdot m ( d2 )^2 = m d^22
Então, o momento angular após a colisão:
Lantes = m d^22 omega

Passo 4

Parte ©: Determinar o eixo de rotação do sistema de três partículas, a nova velocidade angular e a velocidade do centro de massa.

Eixo de Rotação:
Após a colisão, o sistema de três partículas continua girando em torno do centro de massa original, pois não há forças externas atuando para mudar o eixo de rotação.
Nova Velocidade Angular:
Já calculamos que após a colisão, a velocidade angular é:
omega' = 23 omega
Velocidade do Centro de Massa:
Como discutido na parte (a), a velocidade do centro de massa permanece nula, já que não há forças externas atuando no sistema.

Passo 5

Parte (d): Calcular as energias cinéticas inicial e final e comentar sobre elas.

Energia Cinética Inicial:
A energia cinética de rotação é dada por:
KEinicial = 12 I omega^2
Com $ I = \frac{m d^2}{2} $:
I = m d^22
Energia Cinética Final:
Após a colisão, com $ I_{novo} = \frac{3 m d^2}{4} $ e $ \omega’ = \frac{2}{3} \omega $:
KEinicial = 12 cdot m d^22 omega^2 = m d^2 omega^24
Inovo = 3 m d^24
Comentário:
Observamos que a energia cinética diminuiu após a colisão:
omega' = 23 omega
Isso ocorre porque a colisão foi inelástica; parte da energia cinética foi dissipada, provavelmente na forma de calor ou deformação durante a colisão.

Resposta

(a) O centro de massa está no ponto médio entre as duas partículas, com velocidade zero.
(b) O momento angular antes da colisão é $ \frac{m d^2}{2} \omega $ e permanece o mesmo após a colisão.
© O sistema gira em torno do centro de massa, com a nova velocidade angular $ \omega’ = \frac{2}{3} \omega $ e a velocidade do centro de massa continua zero.
(d) A energia cinética inicial é $ \frac{m d^2 \omega^2}{4} $ e a final é $ \frac{m d^2 \omega^2}{6} $. Houve uma diminuição na energia cinética devido à colisão inelástica.

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