Um ciclista de esportes radicais e sua bicicleta atingem a velocidade de 72,0 km / h ao final de uma rampa plana ascendente, inclinada em 30^circ em relação à horizontal. A extremidade superior da rampa encontra-se a uma altura de 5,00 m em relação ao solo. Considere desprezível a resistência do ar e que a aceleração da gravidade tem módulo de 9,80 m / s^2. Determinar:
A) O tempo de subida e a altura máxima atingida.
B) O alcance do lançamento.
C) A equação da trajetória e o gráfico da trajetória.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um ciclista que desce uma rampa inclinada e atinge uma certa velocidade. A matéria que vamos usar aqui é de cinemática e mecânica, especificamente conceitos de movimento em planos inclinados e lançamento de projéteis. Para resolver, vamos precisar das equações de movimento uniformemente acelerado, decomposição de vetores e fórmulas de alcance e trajetória.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os dados que temos:
  • Velocidade final do ciclista: 72,0 , km/h. Vamos converter para metros por segundo: 72,0 , km/h = 72 times 10003600 = 20,0 , m/s
  • Inclinação da rampa: 30^circ
  • Altura da rampa: 5,00 , m
  • Aceleração da gravidade: g = 9,80 , m/s^2

Passo 3

Parte A: Tempo de subida e altura máxima atingida
Vamos considerar que, no ponto mais alto da subida, a velocidade do ciclista será zero. Usaremos a equação de movimento:
v = v0 + a t
Onde:
  • v é a velocidade final (0 m/s no ponto mais alto)
  • v0 é a velocidade inicial (20,0 m/s)
  • a é a aceleração (aqui será a componente da gravidade contra o movimento)
A aceleração a na subida é:
a = -g cdot sin(theta) = -9,80 cdot sin(30^circ) = -9,80 cdot 0,5 = -4,90 , m/s^2

Passo 4

Vamos achar o tempo de subida ( t):
0 = 20,0 + (-4,90) cdot t
4,90 cdot t = 20,0
t = 20,04,90 approx 4,08 , segundos

Passo 5

Agora, para encontrar a altura máxima adicional ( h) atingida durante a subida, usamos:
h = v0 cdot t + 12 a t^2
Substituindo os valores:
h = 20,0 cdot 4,08 + 12 cdot (-4,90) cdot (4,08)^2
h = 81,6 - 12 cdot 4,90 cdot 16,64
h = 81,6 - 40,768 approx 40,83 , m

Passo 6

Agora, a altura total máxima em relação ao solo é a soma da altura da rampa e a altura adicional:
htotal = 5,00 , m + 40,83 , m = 45,83 , m

Resposta

A)
  • Tempo de subida: aproximadamente 4,08 , segundos
  • Altura máxima atingida: aproximadamente 45,83 , metros

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