Duas partículas de massas m e M executam movimento circular uniforme uma em torno da outra, separadas por distância R, sob uma força atrativa constante F. A velocidade angular é \omega. Mostre que
R=\frac{F}{\omega^{2}}\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{M}\right) .

Passo 1

O enunciado trata de duas partículas de massas m e M separadas por uma distância fixa R, que giram em torno do centro de massa com velocidade angular \omega sob uma força atrativa constante F. O que precisamos usar é a condição de movimento circular uniforme (força centrípeta) para cada partícula.

Passo 2

No referencial do centro de massa, a partícula de massa m descreve um círculo de raio r_m e sofre força centrípeta
F = m\,\omega^2\,r_m,
enquanto a partícula de massa M descreve um círculo de raio r_M e sofre
F = M\,\omega^2\,r_M.

Passo 3

Das duas expressões obtemos
r_m = \frac{F}{m\,\omega^2} \quad\text{e}\quad r_M = \frac{F}{M\,\omega^2}.

Passo 4

Como a separação total é R = r_m + r_M, temos
R = \frac{F}{m\,\omega^2} + \frac{F}{M\,\omega^2} = \frac{F}{\omega^2}\Bigl(\tfrac{1}{m}+\tfrac{1}{M}\Bigr).

Resposta

R = \frac{F}{\omega^{2}}\Bigl(\tfrac{1}{m}+\tfrac{1}{M}\Bigr).

Exercícios relacionados