2^{\text {a }} Questão( 15 pontos) - Dois recipientes, \mathbf{A} e \mathbf{B}, contém gás ideal monoatômico e poliatômico respectivamente a mesma temperatura, \mathbf{T}. O volume do recipiente A é \mathbf{V}_{0} que contém \mathbf{n}_{A} mols de gás ideal a pressão de é \mathbf{P}_{\mathbf{0}}. O volume do recipiente B é 2 \mathbf{V}_{0} que contém \mathbf{n}_{\mathrm{B}} mols de gás ideal a pressão de é 3 \mathrm{P}_{0}.
a) Encontre a razão entre as energias internas dos dois gases.
b)Se os dois recipientes forem ligados encontre a pressão final.
c) Se o volume do recipiente \mathrm{B}\left(2 \mathrm{~V}_{0}\right. e \left.3 \mathrm{P}_{0}\right) triplicar a temperatura constante calcule o calor que entrou ou saiu do gás ideal (sistema).

Passo 1

Temos dois recipientes com gases ideais à mesma temperatura T:
– A contém gás monoatômico em volume V_{0}, pressão P_{0} e n_{A} mols.
– B contém gás poliatômico em volume 2V_{0}, pressão 3P_{0} e n_{B} mols.
Conteúdos usados:
  1. Equação de estado dos gases ideais \,PV=nRT.
  2. Energia interna de um gás ideal \,U=\tfrac{f}{2}nRT, onde f é o número de graus de liberdade.
  3. Mistura isoterma de gases (mesma T).
  4. Processo isoterma (expansão com \Delta T=0, logo \Delta U=0 e Q=W).

Passo 2

Usando PV=nRT para cada recipiente:
n_A=\frac{P_0V_0}{R\,T}, \qquad n_B=\frac{3P_0\,(2V_0)}{R\,T} =\frac{6P_0V_0}{R\,T}.

Passo 3

(a) Energia interna de A (monoatômico, f_A=3) e de B (poliatômico, f_B):
U_A=\frac{f_A}{2}\,n_A\,R\,T =\frac{3}{2}\,n_A\,R\,T, \qquad U_B=\frac{f_B}{2}\,n_B\,R\,T.
A razão é
\frac{U_A}{U_B} =\frac{\tfrac{3}{2}n_A R T}{\tfrac{f_B}{2}n_B R T} =\frac{3\,n_A}{f_B\,n_B} =\frac{3}{f_B}\,\frac{n_A}{n_B} =\frac{3}{f_B}\,\frac{1}{6} =\frac{1}{2\,f_B}.
Se, por exemplo, tomarmos um gás poliatômico não-linear com f_B=6, então
\frac{U_A}{U_B}=\frac{1}{2\cdot6}=\frac{1}{12}.

Passo 4

(b) Ao ligar os recipientes mantendo a temperatura T constante, o volume total fica
V_{\rm tot}=V_0+2V_0=3V_0
e o número total de mols
n_{\rm tot}=n_A+n_B =\frac{P_0V_0}{RT}+\frac{6P_0V_0}{RT} =\frac{7P_0V_0}{RT}.
Pela equação de estado para o sistema misto:
P_f=\frac{n_{\rm tot}R\,T}{V_{\rm tot}} =\frac{\tfrac{7P_0V_0}{RT}\,R\,T}{3V_0} =\frac{7\,P_0}{3}.

Passo 5

(c) No recipiente B fazemos uma expansão isoterma de 2V_0 para 6V_0 \Delta T=0, logo \Delta U=0 e Q=W. O trabalho realizado pelo gás é
W =n_B\,R\,T\ln\frac{V_f}{V_i} =\frac{6P_0V_0}{RT}\,R\,T\ln3 =6\,P_0\,V_0\ln3.
Como Q=W, o calor trocado é
Q=6\,P_0\,V_0\ln3.

Resposta

a) \displaystyle \frac{U_A}{U_B}=\frac{1}{2\,f_B} (para f_B=6, \tfrac{1}{12}).
b) \displaystyle P_f=\frac{7}{3}\,P_0.
c) \displaystyle Q=6\,P_0\,V_0\ln3.

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