1^{1} Questão ( 10 pontos) - Um condutor de condutividade térmica \mathrm{K}_{1}=1,0 \mathrm{w} / \mathrm{m}{ }^{\circ} \mathrm{C} e de 1 m de comprimento( \mathrm{L}_{1} ) está em contato com um segundo de mesma área de seção transversal( 0,125 \mathrm{~m}^{2} ) e 3 m de comprimento( \mathrm{L}_{2} ). Uma extremidade da barra composta é mantida a 35{ }^{\circ} \mathrm{C} e a outra oposta a 25^{\circ} \mathrm{C}. A taxa de transferência de calor com o tempo é de 0,5 \mathrm{~W}. A)Qual a condutividade térmica do segundo condutor? B) Calcule a temperatura na interface dos condutores.

Passo 1

O enunciado descreve um problema de condução térmica estacionária em série entre duas barras de mesma área de seção transversal A=0,125\\ \mathrm{m}^2. A barra 1 tem condutividade k_1=1,0\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\,^\circ\mathrm{C}) e comprimento L_1=1\\ \mathrm{m}. A barra 2 tem comprimento L_2=3\\ \mathrm{m} e condutividade k_2 desconhecida. As extremidades estão mantidas a 35^\circ\mathrm{C} (quente) e 25^\circ\mathrm{C} (fria), com fluxo de calor \dot Q=0,5\\ \mathrm{W}. Vamos usar o modelo de resistências térmicas em série:
\dot Q=\frac{T_\mathrm{quente}-T_\mathrm{fria}}{R_1+R_2},
onde
R_i=\frac{L_i}{k_i\,A}.

Passo 2

A resistência térmica total requerida para escoar \dot Q é
R_\mathrm{total}=\frac{T_\mathrm{quente}-T_\mathrm{fria}}{\dot Q} =\frac{35-25}{0,5} =20\\ \mathrm{K/W}.

Passo 3

Calculamos a resistência da primeira barra:
R_1=\frac{L_1}{k_1\,A} =\frac{1}{1{,}0\times0{,}125} =8\\ \mathrm{K/W}.

Passo 4

A resistência da segunda barra é a diferença entre a resistência total e R_1:
R_2=R_\mathrm{total}-R_1 =20-8 =12\\ \mathrm{K/W}.

Passo 5

Da definição de R_2 isolamos k_2:
k_2=\frac{L_2}{R_2\,A} =\frac{3}{12\times0{,}125} =2{,}0\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\,^\circ\mathrm{C}).

Passo 6

A queda de temperatura na barra 1 é \Delta T_1=\dot Q\,R_1=0,5\times8=4^\circ\mathrm{C}.
Portanto, a temperatura de interface vale
T_i=35^\circ\mathrm{C}-4^\circ\mathrm{C} =31^\circ\mathrm{C}.

Resposta

k_2=2{,}0\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\,^\circ\mathrm{C}) T_i=31^\circ\mathrm{C}

Exercícios relacionados